Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, determine sua soma.
sumn=1^infty 25^n-1

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty 25^n-1
e, caso ela seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo é séries geométricas, então vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma quando lvert rrvert<1.

Passo 2

Reescrevemos a série em forma padrão. Definindo k = n-1, quando n vai de 1 a infty, k vai de 0 a infty. Assim
sumn=1^infty 25^n-1 = sumk=0^infty 2 (15)^k
Aqui o primeiro termo é a=2 e a razão é r=tfrac15.

Passo 3

Para séries geométricas da forma sumk=0^inftyar^k, o critério é que converge se, e somente se, lvert rrvert<1, e nesse caso sua soma é
sumk=0^inftyar^k = a1-r
Como lvert rrvert=lverttfrac15rvert<1, a série converge e sua soma é
a1-r ;=; 21 - tfrac15 ;=; 2tfrac45 ;=; 52

Resposta

A série é convergente e sumn=1^infty25^n-1 = 52.

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