Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
onde
O objetivo é verificar se
é conservativo em
(domínio aberto e simplesmente conexo) e, em caso positivo, encontrar
tal que
Passo 2
Para testar conservatividade calculamos as derivadas parciais mistas:
A primeira parcela dá
e a segunda
Logo
Passo 3
Agora calculamos
Temos
logo
Como
concluímos que
é conservativo em
.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
integramos
em relação a
:
Fazendo a integral em duas parcelas:
Portanto
onde
é função de integração dependente só de
.
Passo 5
Para determinar
igualamos
a
:
Daí
, logo
é constante.