Determine se mathbfF é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(y e^* y+4 x^3 y) i+(x e^* y+x^4) j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=(P,Q)
onde
P(x,y)=y,e^xy+4x^3y, Q(x,y)=x,e^xy+x^4
O objetivo é verificar se F é conservativo em R^2 (domínio aberto e simplesmente conexo) e, em caso positivo, encontrar f(x,y) tal que
nabla f = F

Passo 2

Para testar conservatividade calculamos as derivadas parciais mistas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(y,e^xyr) +partialpartial yl(4x^3yr)
A primeira parcela dá
partialpartial yl(y,e^xyr) =e^xy+ycdot e^xycdot x =e^xy+xy,e^xy,
e a segunda
partialpartial y(4x^3y) =4x^3
Logo
partial Ppartial y =e^xy+xy,e^xy+4x^3

Passo 3

Agora calculamos
partial Qpartial x =partialpartial xl(x,e^xyr) +partialpartial x(x^4)
Temos
partialpartial xl(x,e^xyr) =e^xy+xcdot e^xycdot y =e^xy+xy,e^xy,
partialpartial x(x^4)=4x^3,
logo
partial Qpartial x =e^xy+xy,e^xy+4x^3
Como
partial Ppartial y =partial Qpartial x,
concluímos que F é conservativo em R^2.

Passo 4

Para encontrar a função potencial f integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral P(x,y),dx =integrall(y,e^xy+4x^3yr)dx
Fazendo a integral em duas parcelas:
integral y,e^xy,dx =e^xy, integral 4x^3y,dx =x^4y
Portanto
f(x,y)=e^xy+x^4y+C(y),
onde C(y) é função de integração dependente só de y.

Passo 5

Para determinar C(y) igualamos partial f/partial y a Q:
partial fpartial y =x,e^xy+x^4+C'(y) stackrel!=Q(x,y)=x,e^xy+x^4
Daí C'(y)=0, logo C(y) é constante.

Resposta

F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y)=e^xy+x^4y+const

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