Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questöes:
- Qual a solução geral dessa EDO ?
- O PVI satisfaz as condicóos do teorema de existéncia e unicidade?
- Existe soluçăo única? Qual é?
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI
que é uma EDO de separação de variáveis. Para resolvê-la, vamos usar o método de variáveis separáveis e depois verificar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard– Lindel"of.
Passo 2
Separe as variáveis:
Integre ambos os lados:
No lado esquerdo
e no direito
Igualando e renomeando a constante em um único
,
onde
. Assim, a solução geral para
é
Além disso, note que
também satisfaz
, sendo uma solução singular.
Passo 3
O Teorema de Existência e Unicidade exige que
seja contínua e Lipschitz em
num entorno de
. Como
é polinômio e sua derivada
é contínua em toda reta, as condições do teorema são satisfeitas. Logo, para qualquer valor inicial dado, existe e é única a solução local (e estende-se globalmente).
Passo 4
Impondo a condição inicial
na família
temos
o que não admite
real e finito. Portanto, a única forma de satisfazer
é escolher a solução singular
Resposta
(a) A solução geral é
para constante
, além da solução singular
.
(b) Sim. Como e
são contínuas em
, satisfaz-se o Teorema de Existência e Unicidade.
(c) Existe solução única para o PVI, que é
(b) Sim. Como
(c) Existe solução única para o PVI, que é