Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questöes:
P V I=\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=y^{2}-6 y+9 \\\ y(0)=3 \end{array}\right.
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • O PVI satisfaz as condicóos do teorema de existéncia e unicidade?
  • Existe soluçăo única? Qual é?

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
\frac{dy}{dx} = y^2 - 6y + 9,\quad y(0)=3,
que é uma EDO de separação de variáveis. Para resolvê-la, vamos usar o método de variáveis separáveis e depois verificar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard– Lindel"of.

Passo 2

Separe as variáveis:
\frac{dy}{(y-3)^2} = dx.
Integre ambos os lados:
\int (y-3)^{-2}\,dy = \int dx.
No lado esquerdo
\int (y-3)^{-2}\,dy = -\frac{1}{y-3} + C_1,
e no direito
\int dx = x + C_2.
Igualando e renomeando a constante em um único C,
-\frac{1}{y-3} = x + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y-3} = -\,x + K,
onde K=-C. Assim, a solução geral para y\neq3 é
y(x) = 3 + \frac{1}{K - x}.
Além disso, note que y\equiv3 também satisfaz \frac{dy}{dx}=0=(y-3)^2, sendo uma solução singular.

Passo 3

O Teorema de Existência e Unicidade exige que f(y)=y^2-6y+9 seja contínua e Lipschitz em y num entorno de (0,3). Como f(y) é polinômio e sua derivada
f'(y)=2(y-3)
é contínua em toda reta, as condições do teorema são satisfeitas. Logo, para qualquer valor inicial dado, existe e é única a solução local (e estende-se globalmente).

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=3 na família
y(x)=3+\frac{1}{K-x},
temos
3 = 3 + \frac{1}{K-0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{K}=0,
o que não admite K real e finito. Portanto, a única forma de satisfazer y(0)=3 é escolher a solução singular
y(x)\equiv3.

Resposta

(a) A solução geral é
y(x)=3+\frac{1}{K-x},
para constante K, além da solução singular y(x)\equiv3.
(b) Sim. Como f(y)=y^2-6y+9 e f'(y)=2(y-3) são contínuas em \mathbb{R}, satisfaz-se o Teorema de Existência e Unicidade.
(c) Existe solução única para o PVI, que é
y(x)\equiv3.

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