Dê a solução geral da seguinte EDO:
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=x^{2}+2 x+1+\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
\frac{d^{4}y}{dx^{4}} + \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = x^{2} + 2x + 1 + \cos(x).
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar primeiro a solução complementar ( y_{h}) resolvendo a equação característica, e depois uma solução particular ( y_{p}) quebrada em dois termos: um para o polinômio x^{2} + 2x + 1 e outro para \cos(x).

Passo 2

A equação característica é
r^{4}+r^{2}=0
ou seja
r^{2}(r^{2}+1)=0
As raízes são r=0 (dupla) e r=\pm i. Logo a solução complementar é
y_{h} = C_{1} + C_{2}\,x + C_{3}\cos(x) + C_{4}\sin(x).

Passo 3

Para o termo polinomial x^{2}+2x+1, há ressonância em r=0 de multiplicidade 2, então tentamos
y_{p1} = A\,x^{4} + B\,x^{3} + C\,x^{2}.
Calculamos
y_{p1}'' = 12A\,x^{2} + 6B\,x + 2C, \qquad y_{p1}'''' = 24A,
e substituímos em y''''+y'':
24A + (12A\,x^{2}+6B\,x+2C) = 12A\,x^{2} + 6B\,x + (24A+2C) \equiv x^{2}+2x+1.
Comparando coeficientes:
12A=1\\ \Rightarrow\\ A=\tfrac{1}{12},\quad 6B=2\\ \Rightarrow\\ B=\tfrac{1}{3},\quad 24A+2C=1\\ \Rightarrow\\\ 2+2C=1\\ \Rightarrow\\ C=-\tfrac12.
Assim
y_{p1} = \tfrac{1}{12}x^{4} + \tfrac{1}{3}x^{3} - \tfrac12 x^{2}.

Passo 4

Para o termo \cos(x) há ressonância em r=\pm i, então tentamos
y_{p2} = x\bigl(D\cos(x) + E\sin(x)\bigr).
Calculando y_{p2}'' e y_{p2}'''' e somando, obtém-se
y_{p2}'''' + y_{p2}'' = 2D\,\sin(x) - 2E\,\cos(x).
Queremos isso igual a \cos(x), logo
2D=0\\ \Rightarrow\\ D=0, \qquad -2E=1\\ \Rightarrow\\ E=-\tfrac12.
Portanto
y_{p2} = -\tfrac12\,x\sin(x).

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_{h} + y_{p1} + y_{p2} = C_{1} + C_{2}x + C_{3}\cos(x) + C_{4}\sin(x) + \tfrac{1}{12}x^{4} + \tfrac{1}{3}x^{3} - \tfrac12x^{2} - \tfrac12\,x\sin(x).

Resposta

\boxed{ y(x) = C_{1} + C_{2}x + C_{3}\cos(x) + C_{4}\sin(x) + \tfrac{1}{12}x^{4} + \tfrac{1}{3}x^{3} - \tfrac12x^{2} - \tfrac12\,x\sin(x). }

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