Determine o intervalo de convergência das séries e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x
(i) \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e, dentro dele, a soma da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}x^{n}\;.
O conteúdo é séries de potências; vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois estudar os extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, consideramos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|(1+1/n)^{n}x^{n}\bigr|} =\lim_{n\to\infty}(1+1/n)\,|x| =|x|.
Pelo teste da raiz, a série converge se \,|x|<1 e diverge se \,|x|>1.

Passo 3

Em x=1, o termo geral é \bigl(1+1/n\bigr)^{n}\to e\neq0, logo não tende a zero e a série diverge.
Em x=-1, o termo geral é (-1)^{n}(1+1/n)^{n} que oscila com módulo tendendo a e\neq0, também diverge.

Passo 4

Portanto o intervalo de convergência é
-1 < x < 1.

Passo 5

Para |x|<1, a soma define uma função analítica no disco unitário:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}x^{n}.
Não existe expressão elementar mais simples para essa soma além de sua própria série de potências.

Resposta

A série converge exatamente se -1<x<1. Dentro desse intervalo, sua soma é
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}x^{n},
sem forma fechada elementar.

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