Determine o intervalo de convergência das séries e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x
(i) \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e, dentro dele, a soma da série de potências
Pelo teste da raiz, a série converge se \,|x|<1 e diverge se \,|x|>1.
Passo 3
Em x=1, o termo geral é \bigl(1+1/n\bigr)^{n}\to e\neq0, logo não tende a zero e a série diverge.
Em x=-1, o termo geral é (-1)^{n}(1+1/n)^{n} que oscila com módulo tendendo a e\neq0, também diverge.
Passo 4
Portanto o intervalo de convergência é
-1 < x < 1.
Passo 5
Para |x|<1, a soma define uma função analítica no disco unitário: