Dê a solução do seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Este é um caso de equação de Euler–Cauchy, em que os coeficientes são potências de
. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea
fazemos o substituto
. Então
Substituindo:
Temos raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
da equação completa, notamos que o termo não homogêneo é
. Fazemos o palpite
Então
Substituindo na equação:
Para dar
no lado direito, precisamos de
. Assim
Passo 4
A solução geral do PVI é
Para aplicar as condições iniciais, calculamos
Passo 5
Usando
:
Usando
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do PVI é