Dê a solução do seguinte PVI:
P V I=\left\{\begin{array}{l} x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+y=x^{2} \\\ y(1)=0 ; \frac{d y}{d x}(1)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-x\frac{dy}{dx}+y = x^{2}, \quad y(1)=0,\quad \frac{dy}{dx}(1)=1.
Este é um caso de equação de Euler–Cauchy, em que os coeficientes são potências de x. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea
x^{2}y'' - x y' + y = 0
fazemos o substituto y=x^{m}. Então
y'=m x^{m-1},\quad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] - x\bigl[m x^{m-1}\bigr] + x^{m} = 0
\Longrightarrow m(m-1) - m + 1 = 0
\Longrightarrow m^{2} -2m +1 = 0
\Longrightarrow (m-1)^{2}=0
Temos raiz dupla m=1. Logo a solução homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x\ln(x).

Passo 3

Para achar uma solução particular y_{p} da equação completa, notamos que o termo não homogêneo é x^{2}. Fazemos o palpite
y_{p}(x) = A\,x^{2}.
Então
y_{p}' = 2A\,x,\quad y_{p}'' = 2A.
Substituindo na equação:
x^{2}(2A) - x(2A\,x) + A\,x^{2} = 2A\,x^{2} -2A\,x^{2} + A\,x^{2} = A\,x^{2}.
Para dar x^{2} no lado direito, precisamos de A=1. Assim
y_{p}(x) = x^{2}.

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}x + C_{2}x\ln(x) + x^{2}.
Para aplicar as condições iniciais, calculamos
\frac{dy}{dx} = C_{1} + C_{2}\bigl(\ln(x)+1\bigr) + 2x.

Passo 5

Usando y(1)=0:
y(1) = C_{1}\cdot1 + C_{2}\cdot1\cdot\ln(1) + 1^{2} = C_{1} + 0 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = -1.
Usando \tfrac{dy}{dx}(1)=1:
y'(1) = C_{1} + C_{2}\bigl(\ln(1)+1\bigr) + 2\cdot1 = C_{1} + C_{2} + 2 = 1.
Substituindo C_{1}=-1:
-1 + C_{2} + 2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = 0.

Resposta

A solução do PVI é
\boxed{y(x) = x^{2} - x.}

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