Determine o intervalo de convergência das séries e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2+(-1)^{n}\right)(x+1)^{n-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=-1:
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(2+(-1)^{n}\bigr)(x+1)^{n-1},
e pede (i) o intervalo de convergência e (ii) a soma dessa série como função de x. O conteúdo envolve séries de potências, teste da raiz (ou da razão) para determinar o raio de convergência e soma de séries geométricas.

Passo 2

Chamando o termo geral de
t_{n} = \bigl(2+(-1)^{n}\bigr)\,(x+1)^{n-1},
aplicamos o teste da raiz:
\limsup_{n\to\infty}\bigl|t_{n}\bigr|^{1/n} =\limsup_{n\to\infty}\bigl|2+(-1)^{n}\bigr|^{1/n}\,\bigl|x+1\bigr|^{(n-1)/n} =\bigl|x+1\bigr|,
pois \bigl|2+(-1)^{n}\bigr| toma apenas os valores 1 ou 3 e seu n-ésimo radical tende a 1. Logo, a série converge se
\bigl|x+1\bigr|<1.

Passo 3

O intervalo dado por \lvert x+1\rvert<1 é -2<x<0. Nos pontos extremos:
  • Em x=-2, (x+1)=-1 e os termos não tendem a zero (os coeficientes oscilam), logo diverge.
  • Em x=0, (x+1)=1 e os coeficientes (2+(-1)^n) não tendem a zero, logo diverge.
    Portanto o intervalo de convergência é
(-2,0).

Passo 4

Para somar a série em -2<x<0, façamos o deslocamento m=n-1. Então
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(2+(-1)^{n}\bigr)(x+1)^{n-1} =\sum_{m=0}^{\infty}\bigl(2+(-1)^{m+1}\bigr)(x+1)^{m} =\sum_{m=0}^{\infty}\bigl(2-(-1)^{m}\bigr)(x+1)^{m}.
Escrevemos isso como diferença de duas séries geométricas:
2\sum_{m=0}^{\infty}(x+1)^{m} \;-\;\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}(x+1)^{m}.
Como \lvert x+1\rvert<1, temos
\sum_{m=0}^{\infty}(x+1)^{m} =\frac{1}{1-(x+1)} =-\frac{1}{x},
\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}(x+1)^{m} =\frac{1}{1-[-(x+1)]} =\frac{1}{x+2}.

Passo 5

Substituindo,
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(2+(-1)^{n}\bigr)(x+1)^{n-1} =2\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr) \;-\;\frac{1}{x+2} =-\frac{2}{x}-\frac{1}{x+2}.
Colocando em denominador comum x(x+2),
-\frac{2}{x}-\frac{1}{x+2} =\frac{-2(x+2)-x}{x(x+2)} =\frac{-2x-4-x}{x(x+2)} =\frac{-3x-4}{x(x+2)}.

Resposta

Intervalo de convergência: (-2,0).
Soma da série em -2<x<0:
\frac{-3x-4}{x(x+2)}.

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