Para A=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} e B=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}, determine (A+B)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá A = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} e B = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}
e pede (A+B)^{2}. Vamos usar racionalização de denominadores para simplificar A e B, depois somar e elevar ao quadrado.

Passo 2

Para racionalizar A, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{3} - \sqrt{2}.
A = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}.
De modo análogo para B, usamos o conjugado \sqrt{3} + \sqrt{2}:
B = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}.

Passo 3

Agora somamos as duas expressões simplificadas:
A + B = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}.

Passo 4

Por fim, elevamos ao quadrado:
(A + B)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12.

Resposta

12

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