Considere o PVI:
l y^prime prime+y^prime-2 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=alpha
Se lim t -infty y(t)=0, então:
a. a=1
b. a=-2
c. a=0
d. a=-4
e. a=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'' + y' - 2y = 0, y(0)=2,;y'(0)=alpha,
e pede o valor de alpha de forma que limtto -inftyy(t)=0. O conteúdo envolvido é solução de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando a equação característica e condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' + y' - 2y = 0
como
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo,
r = -1pmraiz1+82 = -1pm32,
portanto r1 = 1 e r2 = -2.

Passo 3

A solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 4

Usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. De y(0)=2 vem
C1 + C2 = 2,
e de y'(t)=C1 e^t -2C2 e^-2t junto com y'(0)=alpha vem
C1 - 2C2 = alpha
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2, C1 - 2C2 = alpha,
obtemos
C2 = 2-alpha3, C1 = 4+alpha3
Assim
y(t)=4+alpha3,e^t + 2-alpha3,e^-2t

Passo 5

Para que limtto -inftyy(t)=0, o termo em e^-2t não pode divergir. Logo é necessário
2-alpha3=0 Longrightarrow alpha = 2

Resposta

alpha=2 (alternativa e)

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