Exercício II.27: Encontre os três primeiros estados do oscilador harmônico e por substituição direta, mostre que eles satisfazem a Eq. Schrödinger.

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros autofunções psin(x) do oscilador harmônico unidimensional e que a gente comprove por substituição na equação de Schrödinger estacionária
-hbar^22m,d^2psidx^2+12,momega^2x^2,psi=E,psi
que elas realmente satisfazem essa equação. Vamos usar a forma conhecida
alpha=momegahbar, psin(x)=Nn,Hnl(raizalpha,xr),e^-12,alpha x^2,
onde Hn são os polinômios de Hermite e Nn constantes de normalização.

Passo 2

Para n=0 temos H0(xi)=1 e
psi0(x)=N0,e^-12,alpha x^2, N0=l(tfracalphapir)^1/4
Calculamos
psi0'=-alpha x,psi0, psi0''=l(-alpha+alpha^2x^2r)psi0
Substituindo na Schrödinger:
-hbar^22m(-alpha+alpha^2x^2)psi0 +12 m omega^2 x^2 psi0 =E0 psi0
Como alpha=momegahbar, verifica-se que os termos em x^2 se cancelam e sobra
E0=hbar^2 alpha2m=hbar omega2

Passo 3

Para n=1 temos H1(xi)=2xi, logo
psi1(x)=N1,(2raizalpha,x),e^-12,alpha x^2, N1=l(tfracalphapir)^1/41raiz2
Calcula-se psi1' e psi1'' usando produto e regras anteriores, e ao substituir na equação aparece
E1=32,hbaromega,
mostrando que psi1 é autofunção com valor próprio E1.

Passo 4

Para n=2 usamos H2(xi)=4xi^2-2, obtendo
psi2(x)=N2,(4alpha x^2-2),e^-12,alpha x^2, N2=l(tfracalphapir)^1/412
Fazendo psi2' e psi2'' e inserindo na equação de Schrödinger, verifica-se
E2=52,hbar omega

Passo 5

Concluímos que as três primeiras funções
psi0,psi1,psi2 com energias
E0=tfrac12hbar omega, E1=tfrac32hbar omega,
E2=tfrac52hbar omega
são soluções da equação de Schrödinger por substituição direta.

Resposta

psi0(x)=l(tfracalphapir)^1/4 e^-12 alpha x^2, E0=tfrac12 hbar omega
psi1(x)=l(tfracalphapir)^1/4 2 raizalpha , xraiz2 , e^-12 alpha x^2, E1=tfrac32 hbar omega
psi2(x)=l(tfracalphapir)^1/4 4 alpha x^2 - 22 , e^-12 alpha x^2, E2=tfrac52 hbar omega
onde alpha=m omegahbar.

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