Exercício II.27: Encontre os três primeiros estados do oscilador harmônico e por substituição direta, mostre que eles satisfazem a Eq. Schrödinger.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros autofunções
do oscilador harmônico unidimensional e que a gente comprove por substituição na equação de Schrödinger estacionária
que elas realmente satisfazem essa equação. Vamos usar a forma conhecida
onde
são os polinômios de Hermite e
constantes de normalização.
Passo 2
Para
temos
e
Calculamos
Substituindo na Schrödinger:
Como
, verifica-se que os termos em
se cancelam e sobra
Passo 3
Para
temos
, logo
Calcula-se
e
usando produto e regras anteriores, e ao substituir na equação aparece
mostrando que
é autofunção com valor próprio
.
Passo 4
Para
usamos
, obtendo
Fazendo
e
e inserindo na equação de Schrödinger, verifica-se
Passo 5
Concluímos que as três primeiras funções
com energias
,
,
são soluções da equação de Schrödinger por substituição direta.
são soluções da equação de Schrödinger por substituição direta.
Resposta
onde