Exercício Il.26: Prove (por substituição direta) que a solução (geral) desse problema é dada por:
x(t)=A sin (omega t)+B cos (omega t),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
x(t)=Asin(omega t)+Bcos(omega t)
é solução geral da equação diferencial
x''(t)+omega^2,x(t)=0
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, usando substituição direta.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
x(t)=Asin(omega t)+Bcos(omega t).
A derivada primeira é
x'(t)=Aomegacos(omega t)-Bomegasin(omega t),
e a derivada segunda é
x''(t)=-Aomega^2sin(omega t)-Bomega^2cos(omega t)

Passo 3

Agora substituímos x(t) e x''(t) em
x''(t)+omega^2,x(t).
Temos
x''(t)+omega^2,x(t) =l[-Aomega^2sin(omega t)-Bomega^2cos(omega t)r] +omega^2l[Asin(omega t)+Bcos(omega t)r]

Passo 4

Distribuindo omega^2 e somando termos semelhantes, obtemos
-Aomega^2sin(omega t)-Bomega^2cos(omega t) +Aomega^2sin(omega t)+Bomega^2cos(omega t)=0
Logo
x''(t)+omega^2,x(t)=0, isto é, a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Como A e B são constantes arbitrárias, a combinação
x(t)=Asin(omega t)+Bcos(omega t)
é a solução geral da equação homogênea.

Resposta

A solução geral é
x(t)=Asin(omega t)+Bcos(omega t),
com A e B constantes arbitrárias.

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