Exercício Il.26: Prove (por substituição direta) que a solução (geral) desse problema é dada por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é solução geral da equação diferencial
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, usando substituição direta.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
.
A derivada primeira é
A derivada primeira é
e a derivada segunda é
Passo 3
Agora substituímos
e
em
.
Temos
Temos
Passo 4
Distribuindo
e somando termos semelhantes, obtemos
Logo
, isto é, a função satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Como
e
são constantes arbitrárias, a combinação
é a solução geral da equação homogênea.
é a solução geral da equação homogênea.
Resposta
A solução geral é
com
e
constantes arbitrárias.