Se a equação diferencial y^prime prime+4 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=4 determina a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples, tomando como referência a posição de equilibrio. Então o período do movimento é:
a.
T=pi
b.
T=pi4
c.
T=pi2
d.
T=pi3
e.
T=2 pi3

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação é y'' + 4y = 0 com as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 4 . Nosso objetivo aqui é descobrir o período desse movimento, ou seja, quanto tempo leva para o bloco completar uma oscilação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial da forma y'' + omega^2 y = 0 descreve um Movimento Harmônico Simples, onde omega é a frequência angular. No nosso caso, temos omega^2 = 4 , então vamos encontrar omega .

Passo 3

Resolvendo para omega :
omega^2 = 4 implies omega = raiz4 = 2
Então, a frequência angular é 2 radianos por segundo.

Passo 4

Agora, vamos relacionar a frequência angular omega com o período T da oscilação. A fórmula que liga essas duas grandezas é:
T = 2piomega
Isso porque o período é o tempo que leva para completar uma oscilação completa, e está inversamente relacionado com a frequência angular.

Passo 5

Substituindo o valor de omega que encontramos na fórmula do período:
T = 2pi2 = pi
Então, o período do movimento é pi .

Resposta

A alternativa correta é a letra a. T = pi .

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