Considere o PVI
l y^prime=y y(0)=1
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação, fornece:
yk+1=(1+h+h^2 / 2)^k+1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI
y' = y, y(0)=1
Conteúdo da matéria: métodos numéricos para EDO, em especial o Método de Euler Aperfeiçoado (também chamado de Método do Trapézio Explícito ou Heun).
O que vamos precisar:
  • A expressão do Método de Euler Aperfeiçoado.
  • Aplicar essa fórmula à função .

Passo 2

Fórmula do Método de Euler Aperfeiçoado (passo a passo):
  1. Preditor (Euler Explícito): tilde yk+1 = yk + h,f(tk,yk)
  2. Corretor (média de declives): yk+1 = yk + h2l(f(tk,yk) + f(tk+1,tilde yk+1)r)
Aqui é o tamanho do passo, .

Passo 3

Agora, para o nosso PVI, tilde yk+1 = yk + h,yk = yk,(1+h) .
Então:
  • .
  • Preditor fica

Passo 4

No corretor, usamos
f(tk+1,tilde yk+1) = tilde yk+1 = yk,(1+h)
Logo
yk+1 = yk + h2l(yk + yk(1+h)r) = yk + h2,yk,(2+h) = yk + h,yk + h^22,yk
Isso dá
yk+1 = ykl(1 + h + tfrach^22r)

Passo 5

Perceba que toda iteração multiplica yk = C^k pelo mesmo fator
yk+1 = C^,k+1 = l(1 + h + tfrach^22r)^k+1 .
Como , recursivamente
Logo para o índice temos

Resposta

boxedyk+1 = l(1 + h + tfrach^22r)^k+1

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