Reescreva as seguintes equações como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1^3 ordem:
ly^prime prime prime+(x y^prime prime)^2 /(1+y^prime)^2+log (1+y)=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente pegar uma equação diferencial ordinária de terceira ordem e reescrevê-la como um sistema de três EDOs de primeira ordem. Isso cai em “redução de ordem” de uma ODE: a ideia é criar variáveis que representem cada derivada de , transformando tudo num sistema de variáveis de primeira ordem.

Passo 2

Vamos definir as variáveis novas:
x1(x)&=y(x), x2(x)&=y'(x), x3(x)&=y''(x)
Aqui a teoria é simples: cada nova variável é uma derivada de ordem menor de . Assim, a derivada de é , a de é , e a de vem da equação original.

Passo 3

Escrevendo as derivadas de cada y^primeprimeprime + (x,y'')^2(1+y')^2 + log(1+y)=0 ;Longrightarrow; y^primeprimeprime ;=; -,(x,y'')^2(1+y')^2;-;log(1+y) :
  1. x3'(x) ;=; -,(x,x3(x))^2l(1 + x2(x)r)^2 ;-;logl(1 + x1(x)r) .
  2. .
  3. Para , usamos a própria equação dada:
Troca , , :

Passo 4

Transforma também as condições iniciais:
y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1 ;Longrightarrow; x1(0)=0,;x2(0)=0,;x3(0)=1

Resposta

O sistema de primeira ordem equivalente é
x1'(x) = x2(x), x2'(x) = x3(x), x3'(x) = -,l(x,x3(x)r)^2l(1 + x2(x)r)^2 ;-;logl(1 + x1(x)r),
com condições iniciais
x1(0)=0, x2(0)=0, x3(0)=1

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