Formule, por diferenças finitas, sistemas de equações cuja solução aproxime a solução dos seguintes problemas de contorno:
Passo 1
Beleza, temos um problema de contorno (BVP) em ODE:
y''(t)=2,y(t)+y(t)^3 - t, y(0)=4, y(6)=2
Conteúdo: método de diferenças finitas para BVP.
O que precisamos:
Escolher uma malha uniforme em .
Aproximar a derivada segunda por diferenças finitas centradas.
Montar o sistema não-linear resultante, usando as condições de contorno fixas.
Passo 2
Vamos dividir o intervalo h = 6-0N = 6N, em ti = i,h, i=0,1,dots,N subintervalos iguais de comprimento
y0 = y(0) = 4, yN = y(6) = 2
e definir os pontos
As incógnitas serão para .
Sabemos já que
Passo 3
A gente usa a aproximação de segunda derivada por diferenças finitas centradas:
y''(ti)approx yi-1-2,yi + yi+1h^2
Esse esquema tem erro de e é clássico: a gente subtrai duas vezes o ponto central e divide por .
Passo 4
No ponto interno yi-1-2yi+yi+1h^2 = 2,yi + yi^3 - ti (para yi-1-2yi+yi+1h^2 ;-;2,yi ;-; yi^3 ;+; ti ;=;0 ), a equação diferecial vira
[
\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}
2,y_i + y_i^3 - t_i.
]
Reorganizando, obtemos uma equação não-linear para cada :
Isso gera um sistema de equações em , com e conhecidos.
Resposta
O sistema de equações por diferenças finitas é, para boxed yi-1-2,yi+yi+1h^2 ;-;2,yi ;-;yi^3 ;+;ti ;=;0, :