Formule, por diferenças finitas, sistemas de equações cuja solução aproxime a solução dos seguintes problemas de contorno:
ly^prime prime=2 y+y^3-t y(0)=4 y(6)=2

Passo 1

Beleza, temos um problema de contorno (BVP) em ODE:
y''(t)=2,y(t)+y(t)^3 - t, y(0)=4, y(6)=2
Conteúdo: método de diferenças finitas para BVP.
O que precisamos:
  1. Escolher uma malha uniforme em .
  2. Aproximar a derivada segunda por diferenças finitas centradas.
  3. Montar o sistema não-linear resultante, usando as condições de contorno fixas.

Passo 2

Vamos dividir o intervalo h = 6-0N = 6N, em ti = i,h, i=0,1,dots,N subintervalos iguais de comprimento
y0 = y(0) = 4, yN = y(6) = 2
e definir os pontos
As incógnitas serão para .
Sabemos já que

Passo 3

A gente usa a aproximação de segunda derivada por diferenças finitas centradas:
y''(ti)approx yi-1-2,yi + yi+1h^2
Esse esquema tem erro de e é clássico: a gente subtrai duas vezes o ponto central e divide por .

Passo 4

No ponto interno yi-1-2yi+yi+1h^2 = 2,yi + yi^3 - ti (para yi-1-2yi+yi+1h^2 ;-;2,yi ;-; yi^3 ;+; ti ;=;0 ), a equação diferecial vira
[
\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}

2,y_i + y_i^3 - t_i.
]
Reorganizando, obtemos uma equação não-linear para cada :
Isso gera um sistema de equações em , com e conhecidos.

Resposta

O sistema de equações por diferenças finitas é, para boxed yi-1-2,yi+yi+1h^2 ;-;2,yi ;-;yi^3 ;+;ti ;=;0, :
h=6N, ti = i,h, y0=4,;yN=2
onde

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