Considere o PVI
Determine o valor de
para o qual a solução intercepta pela primeira vez a reta
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de uma EDO linear de 1ª ordem, que é
com condição inicial
, e depois achar o valor de
tal que a solução satisfaça
pela primeira vez. Vamos usar o método do fator integrante para obter a solução geral e em seguida aplicar a condição inicial e resolver numericamente para
.
Passo 2
Multiplicamos a equação por
para usar fator integrante. Como
integrando, obtemos a solução geral
o termo
sendo uma solução particular ainda a determinar.
Passo 3
Para achar
, separamos a parte constante e a parte trigonométrica. Primeiro, uma constante
satisfaz
Depois, assumimos
. Calculando
e igualando a
, obtemos o sistema
Dessa forma, encontra-se
e
. Logo
Passo 4
Aplicando
em
, como
, obtemos
Então a solução exata é
Passo 5
Para encontrar o primeiro
tal que
, impomos
o que simplifica para
Escrevendo a parte trigonométrica como
onde
e
, chegamos a
Passo 6
Como o lado direito decai exponencialmente, a primeira interseção ocorre quando
atinge esse valor decrescente pela primeira vez. Aplicando um método numérico (bissecção ou Newton), encontramos que a equação se anula pela primeira vez em