Considere o PVI
& y^prime+14 y=3+2 cos (2 x) & y(0)=0
Determine o valor de x para o qual a solução intercepta pela primeira vez a reta x=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de uma EDO linear de 1ª ordem, que é y' + tfrac14 y = 3 + 2cos(2x) com condição inicial y(0)=0, e depois achar o valor de x>0 tal que a solução satisfaça y(x)=12 pela primeira vez. Vamos usar o método do fator integrante para obter a solução geral e em seguida aplicar a condição inicial e resolver numericamente para y(x)=12.

Passo 2

Multiplicamos a equação por e^x/4 para usar fator integrante. Como
ddxl(e^x/4yr)=e^x/4l(y'+tfrac14yr)=e^x/4l(3+2cos(2x)r),
integrando, obtemos a solução geral
y(x)=Ce^-x/4+yp(x),
o termo yp(x) sendo uma solução particular ainda a determinar.

Passo 3

Para achar yp(x), separamos a parte constante e a parte trigonométrica. Primeiro, uma constante A satisfaz
0+tfrac14A=3implies A=12
Depois, assumimos yp2=Bcos(2x)+Dsin(2x). Calculando
yp2'+tfrac14yp2=( -2Bsin2x+2Dcos2x)+tfrac14(Bcos2x+Dsin2x)
e igualando a 2cos2x, obtemos o sistema
2D+tfrac B4=2, -2B+tfrac D4=0
Dessa forma, encontra-se B=tfrac865 e D=tfrac6465. Logo
yp(x)=12+865cos(2x)+6465sin(2x)

Passo 4

Aplicando y(0)=0 em y(x)=Ce^-x/4+yp(x), como yp(0)=12+tfrac865=tfrac78865, obtemos
C= -78865
Então a solução exata é
y(x)=-78865e^-x/4+12+865cos(2x)+6465sin(2x)

Passo 5

Para encontrar o primeiro x>0 tal que y(x)=12, impomos
-78865e^-x/4+12+865cos(2x)+6465sin(2x)=12
o que simplifica para
8cos(2x)+64sin(2x)=788e^-x/4
Escrevendo a parte trigonométrica como
8cos(2x)+64sin(2x)=Rsin(2x+varphi),
onde R=raiz8^2+64^2=4raiz260 e varphi=arctan(8/64), chegamos a
sin(2x+varphi)=788Re^-x/4

Passo 6

Como o lado direito decai exponencialmente, a primeira interseção ocorre quando sin(2x+varphi) atinge esse valor decrescente pela primeira vez. Aplicando um método numérico (bissecção ou Newton), encontramos que a equação se anula pela primeira vez em
xapprox10,07

Resposta

xapprox10,07

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