Considere o PVI:
y^{\prime}=\frac{1}{(x-1)(x+2)} y^{2}, \quad y(0)=1
(a) Resolva a equação.
(b) Determine o intervalo máximo no qual a solução está definida.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y'=\frac{1}{(x-1)(x+2)}\,y^2,\quad y(0)=1
e pede (a) resolver a EDO e (b) encontrar o maior intervalo contendo x=0 onde a solução existe. Vamos usar separação de variáveis e análise de singularidades.

Passo 2

Separamos variáveis:
\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{(x-1)(x+2)}.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Para a integral do lado direito fazemos frações parciais:
\frac{1}{(x-1)(x+2)} =\frac{1/3}{x-1}-\frac{1/3}{x+2}.
Logo
\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)} =\frac{1}{3}\ln\bigl|x-1\bigr| -\frac{1}{3}\ln\bigl|x+2\bigr| =\frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+2}\Bigr|+C.
Do lado esquerdo
\int\frac{dy}{y^2}=-\frac{1}{y}.
Portanto a forma implícita é
-\frac{1}{y} =\frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+2}\Bigr|+C.

Passo 4

Usamos y(0)=1. Em x=0 a condição dá
-\frac{1}{1} =\frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{-1}{2}\Bigr|+C \quad\Longrightarrow\quad -1=\frac{1}{3}\ln\!\tfrac12 +C \quad\Longrightarrow\quad C=-1-\frac{1}{3}(-\ln2)= -1+\frac{1}{3}\ln2.
Substituindo em -1/y=\cdots e isolando y, obtemos
\frac{1}{y} =-\frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+2}\Bigr|+1-\frac{1}{3}\ln2
ou, reorganizando,
y(x) =\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}\ln2-\tfrac{1}{3}\ln\!\Bigl|\frac{x-1}{x+2}\Bigr|} =\frac{3}{\,3-\ln2-\ln\!\bigl|\tfrac{x-1}{x+2}\bigr|\,} =\frac{3}{\,3-\ln\!\Bigl|\frac{2(x-1)}{x+2}\Bigr|\,}.

Passo 5

Assim a solução explícita é
y(x)=\frac{3}{3-\ln\!\Bigl|\frac{2(x-1)}{x+2}\Bigr|}.

Passo 6

Para o intervalo máximo note que a EDO é singular em x=1 e x=-2. Além disso a solução explode quando o denominador se anula:
3-\ln\!\Bigl|\frac{2(x-1)}{x+2}\Bigr|=0 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{2(x-1)}{x+2}\Bigr|=e^3.
Resolvendo em -2<x<1 (pois x=0 deve ficar no intervalo) dá
x=\frac{2-2e^3}{e^3+2}\approx -1,728.
Assim ao redor de 0 o maior intervalo sem cruzar x=-2, x=1 ou a explosão é
\Bigl(\frac{2-2e^3}{e^3+2},\,1\Bigr).

Resposta

(a) y(x)=\frac{3}{3-\ln\!\Bigl|\frac{2(x-1)}{x+2}\Bigr|}.
(b) O intervalo máximo contendo 0 em que a solução existe é
\Bigl(\tfrac{2-2e^3}{e^3+2},\,1\Bigr).

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