A equação \left(2 y^{2}+3 x\right)+2 x y y^{\prime}=0 não é exata.
(a) Encontre um fator integrante que dependa apenas de x e transforme-a em exata.
(b) Resolva a equação resultante.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(2y^2+3x\bigr)+2xy\,y'=0
e pede (a) um fator integrante \mu(x) que dependa só de x para torná-la exata e (b) a solução geral. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos escrever na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
testar exatidão, achar \mu(x) e depois obter a função potencial \Psi(x,y).

Passo 2

Escrevendo
M(x,y)=2y^2+3x, \quad N(x,y)=2xy,
vemos que
\frac{\partial M}{\partial y}=4y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2y,
logo \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x e a equação não é exata.

Passo 3

Para buscar \mu(x) dependo só de x usamos a condição
\frac{1}{N}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\Bigr) =f(x).
Aqui
\frac{4y-2y}{2xy}=\frac{2y}{2xy}=\frac1x,
que de fato depende apenas de x. Então
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac1x\,dx\Bigr)=e^{\ln|x|}=x.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x)=x obtemos
\bigl(2xy^2+3x^2\bigr)\,dx + \bigl(2x^2y\bigr)\,dy=0.
Chamando
\widetilde M=2xy^2+3x^2, \quad \widetilde N=2x^2y,
verificamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=4xy, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=4xy,
agora iguais, logo o novo diferencial é exato.

Passo 5

Procuramos \Psi(x,y) tal que
\Psi_x=\widetilde M e \Psi_y=\widetilde N. Integrando \Psi_x=\widetilde M em relação a x:
\Psi(x,y)=\int\bigl(2xy^2+3x^2\bigr)\,dx =x^2y^2+x^3 + h(y).
Derivando em relação a y:
\Psi_y=2x^2y + h'(y)
deve bater com \widetilde N=2x^2y, daí h'(y)=0 e h(y)=\text{constante}.

Passo 6

A solução implícita é
\Psi(x,y)=x^2y^2+x^3=C,
onde C é constante. Se quisermos expressar y de forma explícita,
y^2=\frac{C - x^3}{x^2},
logo
y=\pm\sqrt{\frac{C - x^3}{x^2}}.

Resposta

(a) \mu(x)=x.
(b) A solução geral implícita é
x^2y^2 + x^3 = C,
ou explicitamente
y=\pm\sqrt{\frac{C - x^3}{x^2}}.

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