A equação
não é exata.
(a) Encontre um fator integrante que dependa apenas de
e transforme-a em exata.
(b) Resolva a equação resultante.
(a) Encontre um fator integrante que dependa apenas de
(b) Resolva a equação resultante.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (a) um fator integrante
que dependa só de
para torná-la exata e (b) a solução geral. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos escrever na forma
testar exatidão, achar
e depois obter a função potencial
.
Passo 2
Escrevendo
vemos que
logo
e a equação não é exata.
Passo 3
Para buscar
dependo só de
usamos a condição
Aqui
que de fato depende apenas de
. Então
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Chamando
verificamos
agora iguais, logo o novo diferencial é exato.
Passo 5
Procuramos
tal que
e
. Integrando
em relação a
:
Derivando em relação a
:
deve bater com
, daí
e
.
Passo 6
A solução implícita é
onde
é constante. Se quisermos expressar
de forma explícita,
logo
Resposta
(a)
.
(b) A solução geral implícita é
(b) A solução geral implícita é
ou explicitamente