Resolva o PVI para a equação de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar uma função
que satisfaça
com as condições iniciais
Passo 2
Para resolver uma ODE linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, formamos a equação característica. Assumimos
e substituímos na ODE, o que leva a
Passo 3
Resolvendo a equação
calculamos o discriminante:
Logo
de onde obtemos as raízes reais e distintas
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da ODE é
ou, para ficar mais claro,
Passo 5
Para achar
e
, derivamos e usamos as condições iniciais. Primeiro,
Em
temos o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda, vem
e então