Resolva o PVI para a equação de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar uma função y(x) que satisfaça
y'' - 4y' + 3y = 0,
com as condições iniciais
y(0) = 1, \quad y'(0) = 0.

Passo 2

Para resolver uma ODE linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, formamos a equação característica. Assumimos y = e^{rx} e substituímos na ODE, o que leva a
r^2 - 4r + 3 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação
r^2 - 4r + 3 = 0
calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot3 = 16 - 12 = 4.
Logo
r = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2},
de onde obtemos as raízes reais e distintas
r_1 = 3, \quad r_2 = 1.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C_1 e^{r_2 x} + C_2 e^{r_1 x},
ou, para ficar mais claro,
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}.

Passo 5

Para achar C_1 e C_2, derivamos e usamos as condições iniciais. Primeiro,
y'(x) = C_1 e^{x} + 3\,C_2 e^{3x}.
Em x=0 temos o sistema
\begin{cases} y(0)=C_1 + C_2 = 1,\\\ y'(0)=C_1 + 3C_2 = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda, vem
2C_2 = -1 \implies C_2 = -\tfrac12,
e então
C_1 = 1 - C_2 = 1 + \tfrac12 = \tfrac32.

Resposta

y(x) = \tfrac32\,e^{x} \;-\;\tfrac12\,e^{3x}.

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