Determine se a equação diferencial é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução implícita:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que pertence ao conteúdo de equações diferenciais exatas. Nosso objetivo é verificar a condição de exatidão e, sendo exata, encontrar a função potencial
cuja diferencial total seja igual ao lado esquerdo.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por exatidão, existe
tal que
e
.
Integramos em
:
Integramos
onde
é uma “constante” de integração em função de
.
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Daqui vem
, logo
é constante.
Passo 5
Portanto a função potencial é
e a solução implícita geral da equação diferencial fica
onde
é uma constante arbitrária.