Determine se a equação diferencial é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução implícita:
\left(e^{x} \cos y-2 y\right) d x+\left(-e^{x} \sin y-2 x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(e^x \cos y - 2y)\,dx + (-e^x \sin y - 2x)\,dy = 0,
que pertence ao conteúdo de equações diferenciais exatas. Nosso objetivo é verificar a condição de exatidão e, sendo exata, encontrar a função potencial \psi(x,y) cuja diferencial total seja igual ao lado esquerdo.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = e^x \cos y - 2y, \quad N(x,y) = -e^x \sin y - 2x.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = -e^x \sin y \;-\; 2, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -e^x \sin y \;-\; 2.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe \psi(x,y) tal que \psi_x = M e \psi_y = N.
Integramos \psi_x = M em x:
\psi(x,y) = \int \bigl(e^x \cos y - 2y\bigr)\,dx = e^x \cos y \;-\; 2xy \;+\; h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração em função de y.

Passo 4

Agora derivamos \psi em relação a y e igualamos a N:
\psi_y = -e^x \sin y \;-\; 2x \;+\; h'(y) \stackrel{!}{=} -\,e^x \sin y \;-\; 2x.
Daqui vem h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

Portanto a função potencial é
\psi(x,y)=e^x\cos y - 2xy + \text{constante}
e a solução implícita geral da equação diferencial fica
e^x \cos y - 2xy = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

e^x \cos y - 2xy = C

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