Resolva o seguinte problema de valor de contorno, se possível. Se não for possível, explique por quê.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-8 y=0, \quad y(0)=1, \quad y(\ln (2))=7

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor de contorno
y'' - 2y' - 8y = 0,\quad y(0)=1,\quad y(\ln 2)=7,
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com condições em dois pontos. Para resolver precisamos: (i) achar a solução geral da EDO e (ii) ajustar as constantes usando as duas condições de contorno.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - 2r - 8 = 0.
Resolvendo em r:
r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}\quad\Longrightarrow\quad r_1 = 4,\;r_2 = -2.
Logo a solução geral é
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Aplicando a condição y(0)=1:
y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 1.

Passo 4

Aplicando a condição y(\ln 2)=7:
y(\ln 2) = C_1 e^{4\ln 2} + C_2 e^{-2\ln 2} = C_1\cdot 2^4 + C_2\cdot 2^{-2} = 16\,C_1 + \tfrac{1}{4}\,C_2 = 7.
Multiplicando por 4:
64\,C_1 + C_2 = 28.

Passo 5

Temos o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\\\ 64\,C_1 + C_2 = 28. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda equação:
63\,C_1 = 27\quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{27}{63} = \frac{3}{7},
e então
C_2 = 1 - C_1 = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}.

Resposta

y(x) = \frac{3}{7}\,e^{4x} + \frac{4}{7}\,e^{-2x}.

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