Uma solução para a \operatorname{EDO} 4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0 satisfaz y(2)=e^{-1} e atinge um valor máximo local em x=2. Determine a solução particular y(x) que satisfaz estas condições.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4y''+4y'+y=0
e as condições
\;y(2)=e^{-1}
e que y atinge um máximo local em x=2, o que implica
\;y'(2)=0.
Para resolver, vamos achar a solução geral da EDO e depois determinar as constantes com essas duas condições.

Passo 2

Escrevendo a equação característica temos
4r^2+4r+1=0.
O discriminante é 16-16=0, logo a raiz é dupla
r=-\frac{4}{8}=-\tfrac12.
Assim, a solução geral é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-x/2}.

Passo 3

Calculamos a derivada
y'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[(C_1+C_2 x)e^{-x/2}\Bigr] =\Bigl(C_2-\tfrac12(C_1+C_2 x)\Bigr)e^{-x/2} =\Bigl((C_2-\tfrac12C_1)-\tfrac12C_2\,x\Bigr)e^{-x/2}.
A condição de máximo local dá y'(2)=0. Substituindo x=2:
\bigl((C_2-\tfrac12C_1)-C_2\bigr)e^{-1} =\bigl(-\tfrac12C_1\bigr)e^{-1}=0 \;\Longrightarrow\;C_1=0.

Passo 4

Agora usamos y(2)=e^{-1}. Com C_1=0:
y(2)=(0+2C_2)e^{-1}=2C_2e^{-1}=e^{-1} \;\Longrightarrow\;2C_2=1 \;\Longrightarrow\;C_2=\tfrac12.

Resposta

y(x)=\frac{x}{2}\,e^{-x/2}.

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