Considere o PVI: (2 y+1) dx-x d d=0, y(1)=0
a) Mostre que existe uma única solução
b) Encontre a solução

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
(2y+1),dx - x,dy = 0, y(1)=0,
que pode ser escrito como
dydx=2y+1x
Trata-se de uma EDO linear de 1.ª ordem. Vamos mostrar existência e unicidade e depois encontrar a solução por fator integrante.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=2y+1x
No domínio xneq 0, f e
partial fpartial y=2x
são contínuas em torno do ponto (1,0). Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, existe uma única solução passando por (1,0).

Passo 3

Reescrevemos a EDO na forma padrão
dydx-2x,y=1x

Passo 4

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral -tfrac2x,dxr)=exp(-2ln|x|)=x^-2

Passo 5

Multiplicando a equação por x^-2 obtemos
x^-2dydx-2x^-3y=x^-3 Longrightarrow ddxl(x^-2yr)=x^-3
Integrando,
x^-2y=integral x^-3,dx=-tfrac12,x^-2+C

Passo 6

Multiplicando por x^2, a solução geral é
y=-12+Cx^2

Passo 7

Impondo y(1)=0
0=-tfrac12+Ccdot1^2Longrightarrow C=tfrac12
Logo a solução particular é
y(x)=-12+12x^2=x^2-12

Resposta

y(x)=x^2-12

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