Uma partícula se move no plano x y de tal modo que suas coordenadas x e y variam com o tempo de acordo com as expressões, x(t)=A t^3+B t e y(t)=C t^2+D, em que A=1,00 m / s^3, B=-32,0 m / s, C= 5 m / s^2 e D=12,0 m. Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula quando t=3 s.

Passo 1

O enunciado nos dá as coordenadas paramétricas de uma partícula no plano,
x(t)=A,t^3+B,t,
y(t)=C,t^2+D,
com A=1,00 m/s^3, B=-32,0 m/s, C=5,0 m/s^2 e D=12,0 m.
Queremos determinar em t=3 s
– o vetor posição vec r,
– o vetor velocidade vec v,
– e o vetor aceleração vec a.
Para isso usamos derivadas das componentes para obter vec v=dvec r/dt e vec a=d^2vec r/dt^2.

Passo 2

O vetor posição geral é
vec r(t)=l(x(t),,y(t)r)
Em t=3 s temos
x(3)=Acdot 3^3+Bcdot 3=1cdot27+(-32)cdot3=27-96=-69 m,
y(3)=Ccdot 3^2+D=5cdot9+12=45+12=57 m
Logo,
vec r(3)=(-69,,57) m

Passo 3

As componentes da velocidade são
vec v(t)=dvec rdt=l(dot x(t),,dot y(t)r) =l(3A,t^2+B,;2C,tr)
Em t=3 s:
dot x(3)=3cdot1cdot3^2+(-32)=27-32=-5 m/s,
dot y(3)=2cdot5cdot3=30 m/s
Portanto,
vec v(3)=(-5,,30) m/s

Passo 4

As componentes da aceleração são
vec a(t)=d^2vec rdt^2=l(ddot x(t),,ddot y(t)r) =l(6A,t,;2Cr)
Em t=3 s:
ddot x(3)=6cdot1cdot3=18 m/s^2,
ddot y(3)=2cdot5=10 m/s^2
Logo,
vec a(3)=(18,,10) m/s^2

Resposta

vec r(3)=(-69,,57) m
vec v(3)=(-5,,30) m/s
vec a(3)=(18,,10) m/s^2

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