Resolva a EDO:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é uma EDO de primeira ordem. Vamos usar teoria de equações homogêneas: reconhecemos que as funções
e
são homogêneas de grau 2, então podemos aplicar a substituição
.
Passo 2
Primeiro, conferimos se a equação é exata. Calculamos
e
,
que não coincidem, logo não é exata. Como e
são homogêneas de mesmo grau, fazemos
e então
que não coincidem, logo não é exata. Como
Passo 3
Substituindo na EDO original, primeiro isolamos
:
Troca-se
, então o lado direito vira
Igualando com
obtemos
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Para integrar
, fazemos frações parciais:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Logo,
Passo 6
Reescrevendo somando logaritmos e voltando para
:
Como
, isso dá
Passo 7
E pronto: chegamos à solução geral implícita da EDO.
Resposta
y2\bigl(y2+2x^2\bigr)=C