Resolva a EDO:
x y d x+(y^2+x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x y,dx+(y^2+x^2),dy=0
que é uma EDO de primeira ordem. Vamos usar teoria de equações homogêneas: reconhecemos que as funções
M(x,y)=x y e N(x,y)=y^2+x^2 são homogêneas de grau 2, então podemos aplicar a substituição y=vx.

Passo 2

Primeiro, conferimos se a equação é exata. Calculamos
partial Mpartial y=x e
partial Npartial x=2x ,
que não coincidem, logo não é exata. Como M e N são homogêneas de mesmo grau, fazemos y=vx e então
dydx=v+xdvdx

Passo 3

Substituindo na EDO original, primeiro isolamos dy/dx:
dydx=-x yy^2+x^2
Troca-se y=vx, então o lado direito vira
-x(vx)(v x)^2+x^2=-v1+v^2
Igualando com v+x,dv/dx obtemos
v+xdvdx=-v1+v^2 Longrightarrow xdvdx=-vl(1+11+v^2r)=-vv^2+21+v^2

Passo 4

Agora separamos variáveis:
1+v^2v(v^2+2),dv=-dxx
Para integrar integral1+v^2v(v^2+2)dv, fazemos frações parciais:
1+v^2v(v^2+2)=1/2v+(1/2)vv^2+2

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integral1+v^2v(v^2+2)dv=12ln|v|+14ln(v^2+2),
-integraldxx=-ln|x|+C
Logo,
12ln|v|+14ln(v^2+2)=-ln|x|+C

Passo 6

Reescrevendo somando logaritmos e voltando para y/x:
lnl(v^2(v^2+2)r)=-4ln|x|+C',
v^2(v^2+2)=C'x^-4
Como v=y/x, isso dá
y^2x^2l(y^2x^2+2r)=C'x^-4Longrightarrow y^2(y^2+2x^2)=C

Passo 7

E pronto: chegamos à solução geral implícita da EDO.

Resposta

y2\bigl(y2+2x^2\bigr)=C

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