Verifique se a função y(x)=c 1 e^wed>= x+c 2 e^wed>= 2 x+e^wed>= x é solução geral da EDO: y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^wed>= x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
y(x)=c_1 e^x + c_2 e^{2x} + e^x
é a solução geral da EDO
y’’ - 3y’ + 2y = e^x
Aqui o conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos: achar a solução geral homogênea y_h e verificar se o termo extra y_p = e^x funciona como particular.

Passo 2

A parte homogênea da EDO vem da equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0
Resolvendo, temos r=1 e r=2. Logo a solução homogênea é
y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x}
Esse é o lugar de onde vêm os c_1 e c_2.

Passo 3

Mesmo que alguém proponha y_p(x)=e^x como solução particular, note que e^x já faz parte de y_h. Mas vamos testar a proposta completa por substituição.

Passo 4

Calculemos as derivadas de
y(x)=c_1 e^x + c_2 e^{2x} + e^x:
Em linha:
y’(x)=c_1 e^x + 2c_2 e^{2x} + e^x
y’’(x)=c_1 e^x + 4c_2 e^{2x} + e^x

Passo 5

Agora montamos o LHS da EDO:
y’’ - 3y’ + 2y = (c_1 e^x + 4c_2 e^{2x} + e^x)
  • 3(c_1 e^x + 2c_2 e^{2x} + e^x)
  • 2(c_1 e^x + c_2 e^{2x} + e^x)
Agrupando os termos em e^x e e^{2x}, cada coeficiente cancela:
coeficiente de c_1 e^x: 1 - 3 + 2 = 0
coeficiente de c_2 e^{2x}: 4 - 6 + 2 = 0
coeficiente de e^x (parte fixa): 1 - 3 + 2 = 0
Portanto o LHS fica 0, não e^x.

Passo 6

Como a substituição dá 0 em vez de e^x, concluímos que a função dada não satisfaz a EDO não-homogênea. Além disso o termo e^x é redundante (está em y_h), então não gera o forçamento e^x no lado direito.

Resposta

A função proposta não é a solução geral da EDO, pois ao substituir na equação diferencial o lado esquerdo vale 0 em vez de e^x.

Exercícios relacionados