Considere um quadrado de lado a. Nos vértices deste quadrado são colocadas quatro cargas de módulo q, duas positivas e duas negativas, com as cargas de mesmo sinal colocadas nas arestas opostas do quadrado. Tal sistema é conhecido como quadrupolo elétrico. Calcule o potencial no centro deste sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício sobre um quadrado com cargas elétricas nos vértices, conhecido como quadrupolo elétrico. O objetivo é calcular o potencial elétrico no centro desse quadrado. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre potencial elétrico e como ele se soma quando temos várias cargas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o quadrado. Imagine um quadrado com lado de comprimento $ a $. Nos quatro vértices desse quadrado, temos quatro cargas: duas são positivas e duas são negativas, e elas estão posicionadas de forma que as cargas do mesmo sinal estão em arestas opostas. Isso significa que se uma carga positiva está em um vértice, a carga positiva oposta está no vértice diretamente oposto, e o mesmo vale para as cargas negativas.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ criado por uma única carga $ q $ a uma distância $ r $ é dado pela fórmula:
V
onde $ k $ é a constante de Coulomb ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $).

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o potencial total no centro do quadrado. Para isso, vamos calcular o potencial devido a cada carga individualmente no centro e depois somar todos esses potenciais.
Primeiro, precisamos encontrar a distância de cada vértice ao centro do quadrado. Em um quadrado de lado $ a $, a distância do centro a qualquer vértice é:
a
Isso porque estamos falando da diagonal do quadrado dividida pela metade.

Passo 5

Agora, vamos calcular o potencial devido a uma carga positiva $ +q $ no centro:
+q
E o potencial devido a uma carga negativa $ -q $ será:
V+ = k cdot qaraiz2 = k cdot q cdot raiz2a

Passo 6

Como temos duas cargas positivas e duas cargas negativas, vamos somar todos os potenciais:
Vtotal = V+ + V+ + V- + V- = 2 ( k cdot q cdot raiz2a ) + 2 ( -k cdot q cdot raiz2a )
Vtotal = 2kqraiz2a - 2kqraiz2a = 0

Resposta

O potencial no centro do quadrupolo elétrico é zero.

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