Uma esfera dielétrica possui uma carga total
. No interior da esfera existe uma distribuição de cargas volumétrica
, onde
é uma constante, e
é a distância variável de cada elemento de carga até o centro da esfera. Determine:
(b) O potencial para os pontos
.
(b) O potencial para os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera dielétrica com uma carga total $ Q $. Dentro dessa esfera, a distribuição de carga varia com a distância ao centro, dado por $ \rho = B r $, onde $ B $ é uma constante e $ r $ é a distância do ponto ao centro da esfera. O que a gente precisa encontrar é o potencial elétrico nos pontos fora da esfera, ou seja, para $ r > R $, onde $ R $ é o raio da esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre carga e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída dentro da esfera. A densidade de carga é dada por $ \rho = B r $, o que significa que a densidade de carga aumenta proporcionalmente à distância do centro. Para encontrar a carga total $ Q $, precisaríamos integrar $ \rho $ sobre o volume da esfera, mas como já temos $ Q $ dado, podemos usar essa informação diretamente.
Passo 3
Sabemos que para calcular o potencial elétrico fora de uma distribuição esférica de carga, podemos tratar a esfera como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Isso é válido devido à simetria esférica, segundo o Teorema de Gauss. Portanto, para $ r > R $, o potencial elétrico $ V® $ é o mesmo que o de uma carga pontual $ Q $ no centro.
Passo 4
A fórmula para o potencial elétrico devido a uma carga pontual $ Q $ a uma distância $ r $ é:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula, obtemos o potencial para $ r > R $:
Resposta
O potencial elétrico para pontos fora da esfera ($ r > R $) é dado por