Considere a quádrica -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1.
(a) Determine as intersecções do mesmo com os planos z=10, x=10 e y=10.
(b) Determine as intersecções com os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá a quádru-rica
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1
e pede as intersecções com planos dados. O conteúdo aqui é intersecção de superfícies quádricas com planos, que resulta em cônicas. A estratégia é substituir a equação do plano e simplificar para identificar a cônica resultante.

Passo 2

Intersecção com o plano z=10. Substituindo z=10 na quádru-rica:
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{(10)^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=\;1+\frac{100}{16} =\frac{29}{4}.
Multiplicando por 36 para ver o tipo de cônica:
4y^{2}-9x^{2}=261,
que é uma hipérbole centrada na origem do plano z=10.

Passo 3

Intersecção com o plano x=10. Substituindo x=10:
-\frac{(10)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\;25+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=26.
Multiplicando por 144:
16y^{2}-9z^{2}=3744,
outra hipérbole no plano x=10.

Passo 4

Intersecção com o plano y=10. Substituindo y=10:
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{(10)^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{100}{9} =-\frac{91}{9}
ou
\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{91}{9},
que é uma elipse no plano y=10.

Passo 5

Intersecções com os planos coordenados:
Plano x=0:
\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1,
hipérbole.
Plano y=0:
-\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{16}=-1,
não há solução real.
Plano z=0:
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1,
que também é hipérbole.

Resposta

(a)
Plano z=10: hipérbole \,4y^{2}-9x^{2}=261.
Plano x=10: hipérbole \,16y^{2}-9z^{2}=3744.
Plano y=10: elipse \,\displaystyle\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{91}{9}. (b)
Plano x=0: hipérbole \,\displaystyle\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1.
Plano y=0: não há intersecção real.
Plano z=0: hipérbole \,-\displaystyle\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.

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