Determine as coordenadas do vértice e as equações dos eixos de simetria da superfície cônica
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície cônica
e pede o vértice e os eixos de simetria. Para isso vamos completar quadrados em
,
e
e assim achar um novo sistema de coordenadas
em que a equação fique diagonal.
Passo 2
Agrupamos termos quadráticos e lineares:
Agora completamos quadrados em cada parêntese:
-
-
-
Substituindo na equação original:
Os termos constantes fazem
. Logo sobra
Passo 3
Definimos as novas coordenadas
No sistema
a equação da superfície é
ou seja, um cone duplo com vértice na origem de
.
Passo 4
Voltando a
, o vértice é o ponto que anula
:
Na forma diagonal, os eixos de coordenadas
,
e
são eixos de simetria (rotacional de
) do cone. Em
isso vira três retas que passam por
e têm direções dadas pelos vetores
,
e
.
Resposta
Vértice:
.
Eixos de simetria (linhas através de
):
- Reta paralela a
:
- Reta paralela a
:
- Reta paralela a
(eixo principal do cone):