Determine as coordenadas do vértice e as equações dos eixos de simetria da superfície cônica 3 x^{2}+5 y^{2}-z^{2}-3 x+2 y-z+7 / 10=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície cônica
3x^{2}+5y^{2}-z^{2}-3x+2y-z+\tfrac{7}{10}=0
e pede o vértice e os eixos de simetria. Para isso vamos completar quadrados em x, y e z e assim achar um novo sistema de coordenadas (u,v,w) em que a equação fique diagonal.

Passo 2

Agrupamos termos quadráticos e lineares:
3(x^{2}-x)+5(y^{2}+\tfrac{2}{5}y)-(z^{2}+z)+\tfrac{7}{10}=0.
Agora completamos quadrados em cada parêntese:
  1. 3(x^{2}-x)=3\bigl[(x-\tfrac12)^{2}-\tfrac14\bigr]=3(x-\tfrac12)^{2}-\tfrac34.
  2. 5\bigl(y^{2}+\tfrac{2}{5}y\bigr)=5\bigl[(y+\tfrac15)^{2}-\tfrac1{25}\bigr]=5(y+\tfrac15)^{2}-\tfrac15.
  3. -(z^{2}+z)= -\bigl[(z+\tfrac12)^{2}-\tfrac14\bigr]=-(z+\tfrac12)^{2}+\tfrac14. Substituindo na equação original:
3(x-\tfrac12)^{2}-\tfrac34 \;+\;5(y+\tfrac15)^{2}-\tfrac15\;-\;(z+\tfrac12)^{2}+\tfrac14\;+\;\tfrac{7}{10}=0.
Os termos constantes fazem -\tfrac34-\tfrac15+\tfrac14+\tfrac{7}{10}=0. Logo sobra
3(x-\tfrac12)^{2}+5(y+\tfrac15)^{2}-(z+\tfrac12)^{2}=0.

Passo 3

Definimos as novas coordenadas
u = x-\tfrac12,\quad v = y+\tfrac15,\quad w = z+\tfrac12.
No sistema (u,v,w) a equação da superfície é
3u^{2}+5v^{2}-w^{2}=0,
ou seja, um cone duplo com vértice na origem de (u,v,w).

Passo 4

Voltando a (x,y,z), o vértice é o ponto que anula u,v,w:
V\bigl(\tfrac12,\,-\tfrac15,\,-\tfrac12\bigr).
Na forma diagonal, os eixos de coordenadas u, v e w são eixos de simetria (rotacional de 180\circ) do cone. Em (x,y,z) isso vira três retas que passam por V e têm direções dadas pelos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Resposta

Vértice: \displaystyle\bigl(\tfrac12,\,-\tfrac15,\,-\tfrac12\bigr).
Eixos de simetria (linhas através de V):
  1. Reta paralela a (1,0,0):
\bigl\{(x,y,z)=(\tfrac12+t,\,-\tfrac15,\,-\tfrac12)\mid t\in\mathbb R\bigr\}.
  1. Reta paralela a (0,1,0):
\bigl\{(x,y,z)=(\tfrac12,\,-\tfrac15+t,\,-\tfrac12)\mid t\in\mathbb R\bigr\}.
  1. Reta paralela a (0,0,1) (eixo principal do cone):
\bigl\{(x,y,z)=(\tfrac12,\,-\tfrac15,\,-\tfrac12+t)\mid t\in\mathbb R\bigr\}.

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