Considere a quádrica \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=0.
(a) Para cada k \in \mathbb{R}, determine suas intersecções com os planos x=k, y=k e z=k.
(b) Determine as intersecções com os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá a quádruica
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=0
e pede:
(a) para cada k\in\mathbb{R}, as curvas de interseção com os planos x=k, y=k e z=k;
(b) as interseções com os planos coordenados x=0, y=0, z=0.

Passo 2

Interseção com o plano x=k. Substituindo x=k na quádruica:
\frac{k^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=0
isto é
-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=-\frac{k^{2}}{a^{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{k^{2}}{a^{2}}.
Se k\neq0, essa é uma hipérbole centrada na reta x=k. Se k=0, obtém-se a degeneração em duas retas
\frac{y}{b}=\pm\frac{z}{c}.

Passo 3

Interseção com o plano y=k. Substituindo y=k:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{k^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{k^{2}}{b^{2}}.
Para k\neq0 isso é uma elipse com semi-eixos a\,|k|/b e c\,|k|/b. Para k=0 sobra apenas o ponto (0,0,0).

Passo 4

Interseção com o plano z=k. Substituindo z=k:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{k^{2}}{c^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-\frac{k^{2}}{c^{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{k^{2}}{c^{2}}.
Para k\neq0 é uma hipérbole no plano z=k. Se k=0, degenera em duas retas
\frac{y}{b}=\pm\frac{x}{a}.

Passo 5

Intersecções com os planos coordenados correspondem aos casos k=0 acima:
  • Plano x=0: duas retas \;z=\pm\tfrac{c}{b}\,y.
  • Plano y=0: só o ponto (0,0,0).
  • Plano z=0: duas retas \;x=\pm\tfrac{a}{b}\,y.

Resposta

(a) Para x=k: curva dada por
\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{k^{2}}{a^{2}},
hipérbole se k\neq0, duas retas se k=0.
Para y=k:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{k^{2}}{b^{2}},
elipse se k\neq0, ponto se k=0.
Para z=k:
\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{k^{2}}{c^{2}},
hipérbole se k\neq0, duas retas se k=0.
(b) Nos planos coordenados k=0:
em x=0, duas retas z=\pm\tfrac{c}{b}y;
em y=0, só o ponto (0,0,0);
em z=0, duas retas x=\pm\tfrac{a}{b}y.

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