Considere a quádrica
.
(a) Para cada
, determine suas intersecções com os planos
e
.
(b) Determine as intersecções com os planos coordenados.
(a) Para cada
(b) Determine as intersecções com os planos coordenados.
Passo 1
O enunciado dá a quádruica
e pede:
(a) para cada , as curvas de interseção com os planos
,
e
;
(b) as interseções com os planos coordenados ,
,
.
(a) para cada
(b) as interseções com os planos coordenados
Passo 2
Interseção com o plano
. Substituindo
na quádruica:
isto é
Se
, essa é uma hipérbole centrada na reta
. Se
, obtém-se a degeneração em duas retas
Passo 3
Interseção com o plano
. Substituindo
:
Para
isso é uma elipse com semi-eixos
e
. Para
sobra apenas o ponto
.
Passo 4
Interseção com o plano
. Substituindo
:
Para
é uma hipérbole no plano
. Se
, degenera em duas retas
Passo 5
Intersecções com os planos coordenados correspondem aos casos
acima:
- Plano
: duas retas . - Plano
: só o ponto . - Plano
: duas retas .
Resposta
(a) Para
: curva dada por
hipérbole se
, duas retas se
.
Para :
Para
elipse se
, ponto se
.
Para :
Para
hipérbole se
, duas retas se
.
(b) Nos planos coordenados
:
em , duas retas
;
em , só o ponto
;
em , duas retas
.
em
em
em