Considere a quádrica \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1.
(a) Determine as intersecções do mesmo com os planos z=10, x=10 e y=10.
(b) Determine as intersecções com os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá a quádruica
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1
e pede as curvas de intersecção com certas retas. Para cada plano do tipo x=c, y=c ou z=c basta substituir essa constante na equação e obter uma cônica em duas variáveis.

Passo 2

Interseção com o plano z=10. Substituindo z=10 na quádruica:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}+\frac{10^{2}}{16}=1.
Como \tfrac{10^{2}}{16}= \tfrac{100}{16}= \tfrac{25}{4}, isolamos a parte em x,y:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9} =1-\frac{25}{4} =\frac{4-25}{4} =-\frac{21}{4}.
Multiplicando ambos os lados por 36
9x^{2}-4y^{2}=-189,
que é uma hipérbole no plano z=10.

Passo 3

Interseção com o plano x=10. Substituindo x=10:
\frac{10^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad 25-\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1
-\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16} =1-25 =-24.
Multiplicando por 144:
-16\,y^{2}+9\,z^{2}=-3456 \quad\Longrightarrow\quad 16\,y^{2}-9\,z^{2}=3456,
uma hipérbole no plano x=10.

Passo 4

Interseção com o plano y=10. Substituindo y=10:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{10^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{16} =1+\frac{100}{9} =\frac{9+100}{9} =\frac{109}{9}.
Multiplicando por 144:
36\,x^{2}+9\,z^{2}=144\cdot\frac{109}{9}=16\cdot109=1744,
uma elipse no plano y=10.

Passo 5

Interseção com o plano coordenado x=0. Substituindo x=0 na quádruica:
-\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1,
uma hipérbole no plano x=0.

Passo 6

Interseção com o plano coordenado y=0. Substituindo y=0:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{16}=1,
uma elipse no plano y=0.

Passo 7

Interseção com o plano coordenado z=0. Substituindo z=0:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1,
uma hipérbole no plano z=0.

Resposta

Plano z=10: \{(x,y,10)\mid 9x^{2}-4y^{2}=-189\}.
Plano x=10: \{(10,y,z)\mid 16y^{2}-9z^{2}=3456\}.
Plano y=10: \{(x,10,z)\mid 36x^{2}+9z^{2}=1744\}.
Plano x=0: \{(0,y,z)\mid \tfrac{z^{2}}{16}-\tfrac{y^{2}}{9}=1\}.
Plano y=0: \{(x,0,z)\mid \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{z^{2}}{16}=1\}.
Plano z=0: \{(x,y,0)\mid \tfrac{x^{2}}{4}-\tfrac{y^{2}}{9}=1\}.

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