1. (2,0 pontos) Dadas as retas e .
    (a) Verifique se e são coplanares ou reversas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em e
.
Queremos decidir se e são coplanares (isto é, se existe um plano contendo ambas) ou se são reversas (skew, não coplanares e não paralelas). Para isso vamos
  1. extrair vetores diretores de e ,
  2. verificar se são paralelos (proporcionais),
  3. checar se há ponto em comum (interseção).

Passo 2

Identificamos trecho de reta : ponto de apoio

e vetor diretor
pois , , .
Para , escolhemos como parâmetro. Então
mostra apoio

e vetor diretor

Passo 3

Comparamos diretores:
Eles são idênticos, logo as retas são paralelas (ou coincidentes).

Passo 4

Para ver se coincidem ou apenas são paralelas afastadas, buscamos interseção. Queremos tais que
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
sempre verdade. Na terceira:
também sempre verdade. Ou seja, para todo definindo temos ponto comum. Em particular, com obtemos
Portanto as retas não só são paralelas: elas têm todos os pontos em comum, isto é, coincidem.

Resposta

As retas e são coplanares (na verdade, coincidem), não são reversas.

Exercícios relacionados