1. (2,0 pontos) Dadas as retas r:lx=2+t y=4-t z=-t e s:ly=6-x z=2-x.
    (a) Verifique se s e r são coplanares ou reversas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em e
.
Queremos decidir se e são coplanares (isto é, se existe um plano contendo ambas) ou se são reversas (skew, não coplanares e não paralelas). Para isso vamos
  1. extrair vetores diretores de e ,
  2. verificar se são paralelos (proporcionais),
  3. checar se há ponto em comum (interseção).

Passo 2

Identificamos trecho de reta r: ponto de apoio
,Pr=(2,4,0)
e vetor diretor
vec vr=(1,,-1,,-1),
pois x=2+t, y=4-t, z=-t.
Para s, escolhemos x=u como parâmetro. Então
x=u, y=6-u, z=2-u
mostra apoio
,Ps=(0,6,2)
e vetor diretor
vec vs=(1,,-1,,-1)

Passo 3

Comparamos diretores:
vec vr=(1,-1,-1), vec vs=(1,-1,-1)
Eles são idênticos, logo as retas são paralelas (ou coincidentes).

Passo 4

Para ver se coincidem ou apenas são paralelas afastadas, buscamos interseção. Queremos t,u tais que
2+t = u, 4-t = 6-u, -t = 2-u
Da primeira equação u=2+t. Substituindo na segunda:
4-t = 6-(2+t)Longrightarrow 4-t =4 - t,
sempre verdade. Na terceira:
-t =2-(2+t)Longrightarrow -t = -t,
também sempre verdade. Ou seja, para todo t definindo u=2+t temos ponto comum. Em particular, com t=-2 obtemos
Pr(2-2,,4+2,,2)=(0,6,2)=Ps
Portanto as retas não só são paralelas: elas têm todos os pontos em comum, isto é, coincidem.

Resposta

As retas r e s são coplanares (na verdade, coincidem), não são reversas.

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