Considere o quadrilátero A B C D, em que A(-1,2), B(1,3), C(2,-2) e D(0, -3). Determine as coordenadas do ponto de interseção de suas diagonais.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero A B C D cujas vértices são
A(-1,2), B(1,3), C(2,-2), D(0,-3)
e pede o ponto de interseção das diagonais A C e B D. Isso é um problema de geometria analítica: podemos notar que, se o quadrilátero for um paralelogramo, as diagonais se cortam em seu ponto médio, caso contrário resolvemos o sistema das retas. Vamos primeiro verificar se é um paralelogramo.

Passo 2

Calculamos os vetores dos lados opostos:
AB = B - A = (1-(-1),,3-2) = (2,1),
DC = C - D = (2-0,,-2-(-3)) = (2,1)
Como AB = DC, os lados AB e DC são paralelos e de mesmo comprimento.

Passo 3

Agora os outros pares de lados:
BC = C - B = (2-1,,-2-3) = (1,-5),
AD = D - A = (0-(-1),,-3-2) = (1,-5)
Daí BC = AD, então BCparal<=l AD e com mesmo comprimento. Concluímos que ABCD é um paralelogramo.

Passo 4

Num paralelogramo, as diagonais AC e BD se bissetam mutuamente. Logo, seu ponto de interseção é o ponto médio de qualquer das diagonais. Vamos usar A e C:
x=-1+22=12, y=2+(-2)2=0

Resposta

O ponto de interseção das diagonais é l(tfrac12,0r).

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