Determine se os três pontos dados formam um triângulo retângulo (resolva o problema de dois modos: usando o coeficiente angular e o Teorema de Pitágoras).
(0,0),(3,6) e (-4,2)

Passo 1

O enunciado fornece os pontos A=(0,0), B=(3,6) e C=(-4,2) e pede para verificar se formam um triângulo retângulo de duas formas:
  1. Usando coeficiente angular (saber se dois lados são perpendiculares).
  2. Usando o Teorema de Pitágoras (relação entre distâncias).
Para isso, vamos precisar da definição de coeficiente angular de reta, da condição de perpendicularidade ( m1cdot m2=-1) e da fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Método 1 – coeficiente angular.
O coeficiente angular de uma reta que passa por (x1,y1) e (x2,y2) é
m = y2 - y1x2 - x1
Calculando para cada par:
mAB = 6 - 03 - 0 = 2,
mAC = 2 - 0-4 - 0 = -tfrac12,
mBC = 2 - 6-4 - 3 = -4-7 = tfrac47

Passo 3

Verificação de perpendicularidade.
Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for -1.
mABcdot mAC = 2 times l(-tfrac12r) = -1
Logo, as retas AB e AC são perpendiculares, o que mostra que o ângulo em A é reto. Pelo primeiro método, o triângulo é retângulo.

Passo 4

Método 2 – Teorema de Pitágoras.
Primeiro, calculamos as distâncias usando
d(P,Q) = raiz(xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2
Temos
AB = raiz3^2 + 6^2 = raiz45, AC = raiz(-4)^2 + 2^2 = raiz20, BC = raiz7^2 + 4^2 = raiz65

Passo 5

Aplicando o Teorema de Pitágoras: em triângulo retângulo vale
(cateto1)^2 + (cateto2)^2 = (hipotenusa)^2
Aqui
AB^2 + AC^2 = 45 + 20 = 65 = BC^2
Portanto, pelo segundo método, o triângulo também é retângulo.

Resposta

Os pontos (0,0), (3,6) e (-4,2) formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto no ponto (0,0).

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