Considere que a quantidade de bactérias numa amostra, num tempo t, é dada por P(t), onde
P^prime=a P-b,
onde a, b<0. O que acontece se t infty ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de bactérias cuja quantidade P(t) satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
dPdt = a,P - b,
onde a<0 e b<0. O que queremos é o comportamento de P(t) quando t to infty.

Passo 2

Reconhecemos uma EDO linear não homogênea na forma
dPdt - a,P = -b
Para resolver, usamos o fator integrante mu(t)=e^-a t.

Passo 3

Multiplicando a equação pelo fator integrante, obtemos
ddtl(P,e^-a tr) = -b,e^-a t
Integrando em relação a t, vem
P,e^-a t = integral -b,e^-a t,dt + C = ba,e^-a t + C
Multiplicando por e^a t, a solução geral é
P(t) = C,e^a t + ba

Passo 4

Como a<0, temos limttoinftye^a t=0. Portanto o termo transiente C,e^a t tende a zero e sobra o valor de equilíbrio
limttoinftyP(t) = ba

Resposta

limttoinftyP(t)=ba

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