In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
at
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau dois que aproxima a função
centrado no ponto
. Isso significa que vamos usar a teoria dos polinômios de Taylor, que serve para aproximar funções suaves usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliá-las no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função usando um polinômio, baseado nas derivadas da função no ponto
. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
é:
Como queremos um polinômio de grau dois, vamos parar nos termos até
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Primeiro, a função original em
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau dois usando os valores que encontramos:
Substituindo os valores:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau dois que aproxima
centrado em
é: