In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
f(x)=cos (2 x) at a=pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau dois que aproxima a função f(x) = cos(2x) centrado no ponto a = pi . Isso significa que vamos usar a teoria dos polinômios de Taylor, que serve para aproximar funções suaves usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliá-las no ponto pi .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função usando um polinômio, baseado nas derivadas da função no ponto a . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau n é:
Pn(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + dots + f^(n)(a)n!(x - a)^n
Como queremos um polinômio de grau dois, vamos parar nos termos até (x - a)^2 .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função f(x) = cos(2x) .
Primeira derivada:
f'(x) = -2sin(2x)
Segunda derivada:
f''(x) = -4cos(2x)

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto a = pi .
Primeiro, a função original em pi :
f(pi) = cos(2pi) = cos(0) = 1
Primeira derivada em pi :
f'(pi) = -2sin(2pi) = -2 times 0 = 0
Segunda derivada em pi :
f''(pi) = -4cos(2pi) = -4 times 1 = -4

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau dois usando os valores que encontramos:
P2(x) = f(pi) + f'(pi)(x - pi) + f''(pi)2(x - pi)^2
Substituindo os valores:
P2(x) = 1 + 0 times (x - pi) + -42(x - pi)^2
P2(x) = 1 - 2(x - pi)^2

Resposta

O polinômio de Taylor de grau dois que aproxima f(x) = cos(2x) centrado em a = pi é:
P2(x) = 1 - 2(x - pi)^2

Exercícios relacionados