In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
f(x)=1+x+x^2 at a=-1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 para a função
f(x)=1+x+x^2
centrado em a=-1. Para isso precisamos usar a fórmula
P2(x)=f(a)+f'(a),(x-a)+f''(a)2,(x-a)^2

Passo 2

Calcular as derivadas de f:
f'(x)=1+2x,
f''(x)=2

Passo 3

Avaliar em a=-1:
f(-1)=1+(-1)+(-1)^2=1,
f'(-1)=1+2(-1)=-1,
f''(-1)=2

Passo 4

Substituindo na fórmula de P2:
P2(x)=1+(-1),(x+1)+22,(x+1)^2 =1-(x+1)+(x+1)^2

Passo 5

Expandindo para ver que coincide com f:
1-(x+1)+(x+1)^2 =1-x-1+x^2+2x+1 =x^2+x+1,
que é exatamente f(x), pois f já é um polinômio de grau 2.

Resposta

P2(x)=1-(x+1)+(x+1)^2,
ou, de forma simplificada,
P2(x)=x^2+x+1

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