Explique como você encontraria uma solução de cada uma das EDOs abaixo.
2 x^2 y^prime prime+x y^prime-3 y=0, x>0. (uma solução é y=1 / x; ache a outra)

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem
2x^2y'' + xy' - 3y = 0, x>0,
e informa que uma solução é y1 = 1/x. Trata-se de uma equação de Euler–Cauchy (coeficientes proporcionais a potências de x), cuja solução geral se obtém propondo-se y=x^r.

Passo 2

Assumimos
y = x^r
Então
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2
Substituindo em
2x^2y'' + xy' - 3y = 0
vem
2x^2l(r(r-1)x^r-2r) + xl(r x^r-1r) -3x^r =0
Simplificando cada termo em x^r obtemos o polinômio em r (a ``equação indicial''):
2r(r-1) + r - 3 = 0

Passo 3

Escrevendo em forma padrão,
2r^2 -2r + r - 3 = 0 Longrightarrow 2r^2 - r - 3 = 0
O discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot2cdot(-3) = 1 + 24 = 25,
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r = 1 pm 54 Longrightarrow r1 = -1, r2 = tfrac32

Passo 4

As duas raízes geram duas soluções independentes:
y1 = x^-1, y2 = x^3/2
Portanto, a solução geral da EDO é
y = C1,x^-1 + C2,x^3/2

Resposta

A segunda solução independente é
y2 = x^3/2,
e a solução geral é
y = C1x^-1 + C2x^3/2

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