Considere a queda de um objeto de massa m=0,1 kg a partir do repouso, com uma força resistiva proporcional ao quadrado da velocidade com b=2,5 times 10^-3 Ns^2 / m^2, então:
Encontre v(t) e x(t) e esboce os gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro recaps:
Enunciado: “Um objeto de massa ,kg cai do repouso, sentindo resistência do ar proporcional a com constante ,N·s²/m². A gente precisa achar a velocidade e a posição ao longo do tempo, e desenhar os gráficos.”
Conteúdo envolvido: equação diferencial de 1ª ordem, separação de variáveis, funções hiperbólicas (porque surge tanh e cosh).
O que vamos usar:
  1. A 2ª lei de Newton: .
  2. Separar variáveis pra achar .
  3. Integrar pra achar .

Passo 2

Resolver mdvdt=mg - b,v^2 Longrightarrow dvdt=g - bmv^2 :
  1. Escreve a ODE:
vt = raizm gb
  1. Define a velocidade terminal
dvdt=gl(1 - v^2vt^2r)
A ODE vira
integral dv1 - (v/vt)^2 = integral g,dt
  1. Separa variáveis:
vt2ln!l(vt+vvt-vr) = g,t + C
  1. A primitiva de ln!l(vt+vvt-vr) = 2>vt Longrightarrow vt+vvt-v=e^2>/vt é v(t) = vt,e^2>/vt-1e^2>/vt+1 = vt,tanh!l(g,tvtr) . Substituindo :
  1. Condição inicial . Então
  1. Solve pra :

Passo 3

Agora x(t)=integral0^t v(s),ds = vtintegral0^t tanh!l(g,svtr),ds :
x(t) = vt;vtg,ln!l[cosh!l(tfracg,tvtr)r] = vt^2g,ln!l(cosh!g,tvtr)
Fato: . Então

Passo 4

Desenhando por alto:
  • cresce de 0 e se achata em (gráfico em “S”, saturando).
  • começa 0, curva pra cima, e no longo prazo vira reta com inclinação .

Resposta

boxed v(t)=raizm,gb;tanh!l(g,traizm,g/br), x(t)=(m,g/b)g,ln!l[cosh!l(g,traizm,g/br)r]
onde ,m/s é a velocidade terminal.

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