Considere a queda de um objeto de massa
a partir do repouso, com uma força resistiva proporcional ao quadrado da velocidade com
, então:
Encontre
e
e esboce os gráficos.
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos primeiro recaps:
Enunciado: “Um objeto de massa ,kg cai do repouso, sentindo resistência do ar proporcional a
com constante
,N·s²/m². A gente precisa achar a velocidade
e a posição
ao longo do tempo, e desenhar os gráficos.”
Conteúdo envolvido: equação diferencial de 1ª ordem, separação de variáveis, funções hiperbólicas (porque surge tanh e cosh).
O que vamos usar:
Enunciado: “Um objeto de massa
Conteúdo envolvido: equação diferencial de 1ª ordem, separação de variáveis, funções hiperbólicas (porque surge tanh e cosh).
O que vamos usar:
- A 2ª lei de Newton:
. - Separar variáveis pra achar
. - Integrar
pra achar .
Passo 2
Resolver
:
- Escreve a ODE:
- Define a velocidade terminal
A ODE vira
- Separa variáveis:
- A primitiva de
é . Substituindo :
- Condição inicial
dá . Então
- Solve pra
:
Passo 3
Agora
:
Fato:
. Então
Passo 4
Desenhando por alto:
-
cresce de 0 e se achata em (gráfico em “S”, saturando). -
começa 0, curva pra cima, e no longo prazo vira reta com inclinação .
Resposta
onde
,m/s é a velocidade terminal.