Considere para as questões: c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}: \quad \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} ; \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}.
(1,0 ponto) Um circuito LC originalmente oscila com uma frequência f e corrente máxima I_{\text {max }}. Se a energia total presente no circuito é dobrada, a corrente máxima no circuito crescerá de um fator de:
a) 4
b) \sqrt{8}
c) 2
d) \sqrt{2}
e) 1 (permanece inalterado).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Temos um circuito LC que oscila com frequência inicial f e corrente máxima inicial I_{\max}.
  • A energia total presente no circuito é dobrada (ou seja, passa de E para E' = 2E).
  • Pergunta: em que fator a corrente máxima no circuito cresce? (está entre as opções dadas).
    Informações relevantes que usarei: expressão da energia armazenada no indutor e relação entre energia e amplitude da corrente.

Passo 2

Fórmula fundamental e interpretação física (aula rápida):
  • Em um circuito LC ideal, a energia total oscila entre energia magnética no indutor e energia elétrica no capacitor. No instante de corrente máxima toda a energia está no indutor.
  • A energia armazenada no indutor é dada por
E_{\text{L}}=\tfrac{1}{2}L I^{2},
onde:
  • L é a indutância (unidade: henry, H),
  • I é a corrente instantânea (unidade: ampère, A),
  • E_{\text{L}} é a energia magnética armazenada (unidade: joule, J).
    Explicação curta da fórmula: a energia no indutor vem do trabalho necessário para estabelecer a corrente, e ao integrar a potência v(t)i(t) obtém-se \tfrac{1}{2}L I^{2}. Aqui I é a amplitude máxima quando toda a energia está no indutor.

Passo 3

Escrever as energias antes e depois da alteração:
  • Energia inicial (quando a corrente máxima é I_{\max}):
E=\tfrac{1}{2}L I_{\max}^{2}.
  • Energia depois (corrente máxima passa a ser I'_{\max} e a energia é o dobro):
E'=\tfrac{1}{2}L I'_{\max}{}^{2}=2E.

Passo 4

Álgebra para obter o fator de aumento da corrente (passo a passo sem pular):
  • Substituir E na igualdade \tfrac{1}{2}L I'_{\max}{}^{2}=2\left(\tfrac{1}{2}L I_{\max}^{2}\right):
\tfrac{1}{2}L I'_{\max}{}^{2}=2\cdot \tfrac{1}{2}L I_{\max}^{2}.
  • Simplificar ambos os lados, cancelando \tfrac{1}{2}L (que é comum e não é zero):
I'_{\max}{}^{2}=2 I_{\max}^{2}.
  • Tirando raiz quadrada em ambos os lados (tomando a raiz positiva, pois falamos de amplitudes):
\frac{I'_{\max}}{I_{\max}}=\sqrt{2}.

Passo 5

Interpretação numérica e verificação rápida:
  • Se inicialmente I_{\max}=1{,}0\\ \mathrm{A}, então com energia dobrada I'_{\max}=\sqrt{2}\cdot 1{,}0\\ \mathrm{A}\approx1{,}414\\ \mathrm{A}.
  • Observação importante para a prova: quando uma quantidade física tem dependência quadrática (aqui E\propto I^{2}), um aumento da energia por um fator k implica aumento da amplitude por fator \sqrt{k}. Aqui k=2, logo fator \sqrt{2}.

Passo 6

Dica de prova e encorajamento:
  • Concentre-se em lembrar as formas de energia: E_L=\tfrac{1}{2}L I^{2} e E_C=\tfrac{1}{2}C V^{2}. Sempre que vir “energia dobrada” e a energia for proporcional ao quadrado de uma amplitude, a nova amplitude cresce por raiz do fator de energia.
  • Vai dar certo — respira fundo, revise mais alguns exercícios assim que puder!

Resposta

d) \sqrt{2}

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