Considere em R^2 as bases beta1=(1,0),(0,1) e beta2=(1,1),(-1,1) e a matriz A=[ll2 & 0 0 & 1].
a) Qual é a transformação linear associada: TA: Rbeta1^2 Rbeta2^2

Passo 1

O enunciado nos dá as bases
beta1=(1,0),(0,1) (base canônica) e
beta2=(1,1),(-1,1)
e a matriz
A=2&00&1
que representa uma transformação linear T em coordenadas de beta1.
Precisamos encontrar a matriz de T que leva coordenadas em beta1 para coordenadas em beta2, ou seja, [T]beta2,beta1.

Passo 2

Para mudar para a base beta2, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de cada vetor de beta2 na base beta1. Como
(1,1) e (-1,1) já estão em beta1,
P=1 & -11 & 1
satisfaz P,(x)beta2=(x)beta1.

Passo 3

Calculamos P^-1. O determinante de P é 1cdot1-(-1)cdot1=2, logo
P^-1=121 & 1-1 & 1

Passo 4

A matriz de T de beta1 para beta2 é
[T]beta2,beta1 = P^-1,A = 121 & 1-1 & 1 2 & 00 & 1 = 122 & 1-2 & 1 =1 & tfrac12-1 & tfrac12

Passo 5

Interpretando essa matriz, para um vetor expresso em coordenadas de , sua imagem em coordenadas de é

Resposta

Para (x,y) em beta1,
TAl((x,y)beta1r) =l(x + tfrac12,y,;-x + tfrac12,yr)beta2

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