Sejam
transf. linear e
base de
. Prove que se
então
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são transformações lineares de
em
e que coincidem em todos os vetores de uma base
de
. Queremos mostrar que isso basta para que
e
sejam idênticas em todo
. Para isso vamos usar a propriedade de que toda
se escreve de modo único como combinação linear dos
e a linearidade de
e
.
Passo 2
Seja
. Como
é base, existem únicos escalares
tais que
Passo 3
Pela linearidade de
,
De modo análogo,
Mas por hipótese
para todo
, logo cada termo da soma coincide e, portanto,
Resposta
Como
era arbitrário em
, concluímos que
para todo
. Logo
.