Sejam f, g: V W transf. linear e beta=v1, ldots, vn base de V. Prove que se f(vk)=g(vk) forall vk in beta então f=g.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são transformações lineares de V em W e que coincidem em todos os vetores de uma base beta=v1,dots,vn de V. Queremos mostrar que isso basta para que f e g sejam idênticas em todo V. Para isso vamos usar a propriedade de que toda vin V se escreve de modo único como combinação linear dos vk e a linearidade de f e g.

Passo 2

Seja vin V. Como beta é base, existem únicos escalares a1,dots,an tais que
v = sumi=1^n ai,vi

Passo 3

Pela linearidade de f,
f(v) ;=; fl(sumi=1^n ai,vir) ;=; sumi=1^n ai,f(vi)
De modo análogo,
g(v) ;=; sumi=1^n ai,g(vi)
Mas por hipótese f(vi)=g(vi) para todo i, logo cada termo da soma coincide e, portanto,
f(v) = g(v)

Resposta

Como v era arbitrário em V, concluímos que f(v)=g(v) para todo vin V. Logo f=g.

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