Considere, no
, a hipérbole equilátera unitária
Considere o setor hiperbólico situado no
quadrante de vértices
e
. Denote a medida da área do referido setor hiperbólico por
.
(b) Expressar
em função de
.
(b) Expressar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma hipérbole equilátera no plano
, dada por
. Estamos focando no primeiro quadrante e queremos relacionar as coordenadas do ponto
com a área
do setor hiperbólico formado pelos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral e propriedades das funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a área
desse setor hiperbólico. Ela corresponde à área sob a curva da hipérbole
entre
e
. Para calcular essa área, precisamos integrar a função que descreve a hipérbole.
Passo 3
Reescrevendo a equação da hipérbole para expressar
em função de
, temos:
Agora, a área
é dada pela integral de
em relação a
de
a
:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral de
é uma forma padrão. A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
, a área
fica:
Simplificando, já que os termos no limite inferior são zero:
Passo 6
Agora, para expressar
e
em função de
, observamos que a hipérbole pode ser parametrizada usando funções hiperbólicas. Vamos definir um parâmetro
tal que:
Onde
e
são as funções hiperbólicas cosseno e seno.
Passo 7
Sabemos que a área
do setor hiperbólico pode ser relacionada ao parâmetro
pela seguinte relação:
Portanto, temos:
Passo 8
Substituindo
nas expressões de
e
, obtemos:
Resposta
As coordenadas
e
em função da área
são: