Considere, no R^2, a hipérbole equilátera unitária
x^2 - y^2 = 1
Considere o setor hiperbólico situado no 1^0 quadrante de vértices O = (0,0), P0=(x0, y0) e A = (1, 0). Denote a medida da área do referido setor hiperbólico por S.
(b) Expressar x0 e y0 em função de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma hipérbole equilátera no plano R^2, dada por . Estamos focando no primeiro quadrante e queremos relacionar as coordenadas do ponto com a área S do setor hiperbólico formado pelos pontos , e P0. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral e propriedades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a área S desse setor hiperbólico. Ela corresponde à área sob a curva da hipérbole entre x = 1 e . Para calcular essa área, precisamos integrar a função que descreve a hipérbole.

Passo 3

Reescrevendo a equação da hipérbole para expressar y em função de x, temos:
Agora, a área S é dada pela integral de y em relação a x de 1 a x_0:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral de é uma forma padrão. A antiderivada de é:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 a x_0, a área S fica:
Simplificando, já que os termos no limite inferior são zero:

Passo 6

Agora, para expressar x_0 e y0 em função de S, observamos que a hipérbole pode ser parametrizada usando funções hiperbólicas. Vamos definir um parâmetro u tal que:
Onde e são as funções hiperbólicas cosseno e seno.

Passo 7

Sabemos que a área S do setor hiperbólico pode ser relacionada ao parâmetro u pela seguinte relação:
Portanto, temos:

Passo 8

Substituindo nas expressões de x_0 e y0, obtemos:

Resposta

As coordenadas x_0 e y0 em função da área S são:

Exercícios relacionados