Considere
e a sequência (
). Mostre que
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
sempre que
e
. Vamos usar a definição de limite de sequência e manipular desigualdades envolvendo potências, recorrendo a logaritmos quando necessário.
Passo 2
Note que
Como
, definimos
satisfazendo
Passo 3
Pela definição de limite, dado
queremos encontrar
tal que, para todo
,
- Se
, basta escolher , pois para todo vale
- Se
, então e . A desigualdade equivale a
e como
invertemos o sinal ao dividir por
:
Assim, basta tomar
para garantir que todo
implique
.
Passo 4
Concluímos que, para qualquer
, existe
tal que
sempre que
. Pelo critério de limite de sequência,