Considere r \in \mathbb{R} e a sequência ( r^{n} ). Mostre que
\lim r^{n}=0, para -1<r<1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{n\to\infty}r^n = 0
sempre que r\in\mathbb{R} e -1<r<1. Vamos usar a definição de limite de sequência e manipular desigualdades envolvendo potências, recorrendo a logaritmos quando necessário.

Passo 2

Note que
\lvert r^n - 0\rvert = \lvert r^n\rvert = \lvert r\rvert^n.
Como -1<r<1, definimos c := \lvert r\rvert satisfazendo
0 \le c < 1.

Passo 3

Pela definição de limite, dado \varepsilon>0 queremos encontrar N tal que, para todo n>N,
\lvert r^n\rvert = c^n < \varepsilon.
  • Se \varepsilon \ge 1, basta escolher N=1, pois para todo n\ge1 vale
c^n \le 1 < \varepsilon.
  • Se 0<\varepsilon<1, então \ln c<0 e \ln\varepsilon<0. A desigualdade c^n<\varepsilon equivale a
n\ln c < \ln\varepsilon,
e como \ln c<0 invertemos o sinal ao dividir por \ln c:
n > \frac{\ln\varepsilon}{\ln c}.
Assim, basta tomar
N = \left\lceil \frac{\ln\varepsilon}{\ln c} \right\rceil
para garantir que todo n>N implique c^n<\varepsilon.

Passo 4

Concluímos que, para qualquer \varepsilon>0, existe N tal que \lvert r^n-0\rvert<\varepsilon sempre que n>N. Pelo critério de limite de sequência,
\lim_{n\to\infty}r^n = 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n = 0 para todo r com -1<r<1.

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