Considere R^3 com p.i. usual. Dados U=>=ru=(2,-1,2), v=(1,2,1) e w=(-2,3,3), determine o vetor projU(w).

Passo 1

O enunciado pede a projeção de ,w=(-2,3,3) no subespaço U=spanu=(2,-1,2),,v=(1,2,1) em R^3 com o produto interno usual. Pela teoria de projeção ortogonal, projU(w) é o vetor
p = c1,u + c2,v
que satisfaz as condições de ortogonalidade
lang<= w - p,,urang<= = 0 e lang<= w - p,,vrang<= = 0
Vamos usar isso para determinar c1 e c2.

Passo 2

Primeiro calculamos os produtos internos envolvidos:
lang<= u,urang<= = 2^2+(-1)^2+2^2 = 9, lang<= v,vrang<= = 1^2+2^2+1^2 = 6, lang<= u,vrang<= = 2cdot1+(-1)cdot2+2cdot1 = 2,
lang<= w,urang<= = (-2)cdot2 + 3cdot(-1) + 3cdot2 = -1, lang<= w,vrang<= = (-2)cdot1 + 3cdot2 + 3cdot1 = 7
As condições de ortogonalidade geram o sistema
lang<= w,urang<= = c1lang<= u,urang<= + c2lang<= v,urang<=, lang<= w,vrang<= = c1lang<= u,vrang<= + c2lang<= v,vrang<=,
isto é
9,c1 + 2,c2 = -1, 2,c1 + 6,c2 = 7

Passo 3

Resolvendo
9c1+2c2=-1, 2c1+6c2=7
podemos, por exemplo, isolar c1=(-1-2c2)/9 na primeira e substituir na segunda:
2-1-2c29 +6c2 =7 ;Longrightarrow; -2-4c2 +54c2 =63 ;Longrightarrow; 50c2=65 ;Longrightarrow; c2=1310,
c1 = -1 -2cdot13109 = -1 -26109 = -36109 = -25

Passo 4

Agora calculamos
p = c1u + c2v = -tfrac25(2,-1,2) ;+;tfrac1310(1,2,1)
Em cada coordenada:
x: -tfrac45 + tfrac1310 = tfrac12, y: tfrac25 + tfrac2610 = 3, z: -tfrac45 + tfrac1310 = tfrac12

Resposta

projU(w) = l(tfrac12,,3,,tfrac12r).

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