Seja o espaço vetorial V, com o p.i. lang<=,rang<=. Dado um isomorfismo A: U V definamos, para todo u, v in U e [u, v]=lang<= A u, A vrang<=. Prove que [,] um produto interno em U.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço com produto interno lang<=,,,rang<= e que
Acolon Uto V
é um isomorfismo de espaços vetoriais (ou seja, A é linear e bijetora). Definimos em U a aplicação
[u,v] ;=;lang<= A u,;A vrang<= para todo u,vin U
Para provar que [,,,] é um produto interno em U, precisamos verificar as três propriedades:
1) linearidade no primeiro fator,
2) simetria (ou conjugado-simetria) e
3) positividade definida.

Passo 2

(Linearidade e simetria)
Como A é linear, para quaisquer escalares alpha,beta e vetores u1,u2,vin U temos
[alpha u1+beta u2,;v] =lang<= A(alpha u1+beta u2),,A vrang<= =lang<= alpha,A u1+beta,A u2,,A vrang<= =alphalang<= A u1,,A vrang<=+betalang<= A u2,,A vrang<= =alpha,[u1,v]+beta,[u2,v]
Isto mostra a linearidade no primeiro argumento.
Para a simetria (no caso real) ou conjugado-simetria (caso complexo), usa-se a própria simetria de lang<=,,,rang<=:
[u,v] =lang<= A u,,A vrang<= =lang<= A v,,A urang<= =[v,u],
e, em particular no caso real, [u,v]=[v,u].

Passo 3

(Positividade definida)
Pela positividade de lang<=,,,rang<= em V temos
[u,u] =lang<= A u,,A urang<= >= 0,
com igualdade se e somente se A u=0. Como A é injetora, A u=0 implica u=0. Logo
[u,u]>0sempre que uneq0
Isso garante que [,,,] é definido positivo.

Resposta

Portanto [,,,] satisfaz linearidade no primeiro fator, simetria (ou conjugado-simetria) e positividade definida, e assim é um produto interno em U.

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