Seja o espaço vetorial , com o p.i. . Dado um isomorfismo definamos, para todo e . Prove que [,] um produto interno em .
Passo 1
O enunciado diz que é um espaço com produto interno e que
é um isomorfismo de espaços vetoriais (ou seja, é linear e bijetora). Definimos em a aplicação
Para provar que é um produto interno em , precisamos verificar as três propriedades: ) linearidade no primeiro fator, ) simetria (ou conjugado-simetria) e ) positividade definida.
Passo 2
(Linearidade e simetria)
Como é linear, para quaisquer escalares e vetores temos
Isto mostra a linearidade no primeiro argumento.
Para a simetria (no caso real) ou conjugado-simetria (caso complexo), usa-se a própria simetria de :
e, em particular no caso real, [u,v]=[v,u].
Passo 3
(Positividade definida)
Pela positividade de lang<=,,,rang<= em V temos
[u,u] =lang<= A u,,A urang<= >= 0,
com igualdade se e somente se A u=0. Como A é injetora, A u=0 implica u=0. Logo
[u,u]>0sempre que uneq0
Isso garante que [,,,] é definido positivo.
Resposta
Portanto [,,,] satisfaz linearidade no primeiro fator, simetria (ou conjugado-simetria) e positividade definida, e assim é um produto interno em U.