Sejam V um espaço com produto interno e S subespaço de V. Determine S^perp e dim(S^perp).
S=>=r(-1+i, i, 2-2 i, 2-i),(i, 3,1+i,-1), V=C^4

Passo 1

O enunciado pede o complemento ortogonal
S^perp=xinC^4midlang<= x,vrang<==0 para todo vin S
onde
v1=(-1+i,;i,;2-2i,;2-i), v2=(i,;3,;1+i,;-1),
e a dimensão de S^perp. Como dim V=4 e dim S=2 (supondo v1,v2 linearmente independentes), pela fórmula de posto–nulo
dim S^perp = dim V - dim S = 4 - 2 = 2
Para exibir uma base de S^perp, vamos resolver as duas condições lang<= x,v1rang<==0 e lang<= x,v2rang<==0.

Passo 2

Seja x=(x1,x2,x3,x4). Usando o produto interno padrão
lang<= x,yrang<= = x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,
temos
v1=(-1-i,,-i,,2+2i,,2+i), v2=(-i,,3,,1-i,,-1)
As equações são
(-1-i)x1 ;+;(-i)x2;+;(2+2i)x3;+;(2+i)x4 ;=;0, tag1
(-i)x1 ;+;3,x2;+;(1-i)x3;-;x4 ;=;0 tag2

Passo 3

Das equações lineares (1) e (2) em x1,x2 obtemos, via regra de Cramer,
x1 =(-7-7i)x3+(-6-2i)x4-2-3i, x2 =(4-2i)x3-3i,x4-2-3i,
enquanto x3,x4 são livres. Assim
x =;x3, -7-7i-2-3i[6pt] 4-2i-2-3i[3pt] 1[3pt] 0 ;+ ;x4, -6-2i-2-3i[6pt] -3i-2-3i[3pt] 0[3pt] 1 ]

Passo 4

Para limpar frações, multiplico cada vetor por -2-3i. Uma base conveniente de S^perp é então
u = 35-7i -2+16i 13 0 , w = 18-14i 9+6i 0 13 ,
pois correspondem aos casos (x3,x4)=(1,0) e (0,1) multiplicados por -2-3i.

Passo 5

Concluímos que
S^perp = span,u,;w,
portanto
dim S^perp = 2

Resposta

S^perp = spanl(35-7i,,-2+16i,,13,,0),,(18-14i,,9+6i,,0,,13)r
e dim S^perp = 2.

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