Sejam
um espaço com produto interno e
subespaço de
. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado pede o complemento ortogonal
onde
onde
e a dimensão de
. Como
e
(supondo
linearmente independentes), pela fórmula de posto–nulo
Para exibir uma base de
, vamos resolver as duas condições
e
.
Passo 2
Seja
. Usando o produto interno padrão
,
temos
temos
As equações são
Passo 3
Das equações lineares
(1) e
(2) em
x1,x2 obtemos, via regra de Cramer,
enquanto
x3,x4 são livres. Assim
Passo 4
Para limpar frações, multiplico cada vetor por
-2-3i . Uma base conveniente de
S^perp é então
pois correspondem aos casos
(x3,x4)=(1,0) e
(0,1) multiplicados por
-2-3i .
Passo 5
Concluímos que
portanto
Resposta
e