Sejam V um espaço com produto interno e S subespaço de V. Determine S^perp e dim(S^perp).
S=>=r(-1,2,1,3),(0,3,4,-2),(-2,1,-2,8), V=R^4

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial R^4 com o produto interno padrão e o subespaço
S = span,(-1,2,1,3),;(0,3,4,-2),;(-2,1,-2,8)
Precisamos determinar S^perp = xinR^4mid xcdot v=0;forall vin S e calcular dim(S^perp). Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (dimensão do núcleo de uma matriz) e resolver o sistema de equações xcdot vi=0.

Passo 2

Primeiro encontramos dim(S). Formamos a matriz cujas linhas são os vetores geradores de S:
A = -1 & 2 & 1 & 3 0 & 3 & 4 & -2 -2 & 1 & -2 & 8
Fazendo eliminação de Gauss:
-1 & 2 & 1 & 3 0 & 3 & 4 & -2 -2 & 1 & -2 & 8 ;longrightarrow; -1 & 2 & 1 & 3 0 & 3 & 4 & -2 0 & -3 & -4 & 2
A terceira linha é -1 vezes a segunda, logo há apenas dois pivôs e
rank(A)=2 Longrightarrow dim(S)=2

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão, como
Para achar uma base de , resolvemos as duas equações independentes
Da segunda, e , o vetor geral em é

Passo 4

Para evitar frações, escolhemos como base dois vetores inteiros proporcionais:
u1 = (-5,-4,3,0), u2 = (13,2,0,3)
Verifica-se que u1cdot vi=0 e u2cdot vi=0 para i=1,2,3. Portanto
S^perp = span,u1,u2 = span,(-5,-4,3,0),;(13,2,0,3),
com dim(S^perp)=2.

Resposta

S^perp = span,(-5,-4,3,0),;(13,2,0,3) e dim(S^perp)=2.

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