Sejam
um espaço com produto interno e
subespaço de
. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos o espaço vetorial
com o produto interno padrão e o subespaço
Precisamos determinar
e calcular
. Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (dimensão do núcleo de uma matriz) e resolver o sistema de equações
.
Passo 2
Primeiro encontramos
. Formamos a matriz cujas linhas são os vetores geradores de
:
Fazendo eliminação de Gauss:
A terceira linha é
-1 vezes a segunda, logo há apenas dois pivôs e
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão, como
Para achar uma base de
, resolvemos as duas equações independentes
Da segunda, e
, o vetor geral em
é
Passo 4
Para evitar frações, escolhemos como base dois vetores inteiros proporcionais:
Verifica-se que
u1cdot vi=0 e
u2cdot vi=0 para
i=1,2,3 . Portanto
com
dim(S^perp)=2 .