Considere R^{3} com o produto interno canônico
a) Ortogonalize o conjunto \mathbb{C}=\{(1, 0, 1),(0, 1, 1)\}
b) Encontre o vetor u do subespaço W=[(1,0,1),(0,1,1)] mais próximo do vetor v=(2,3,4)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em \mathbb{R}^3 com o produto interno canônico:
  1. Ortogonalizar o conjunto \mathbb{C}=\{w_1,w_2\}, onde w_1=(1,0,1),\quad w_2=(0,1,1).Aqui vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que gera vetores \{u_1,u_2\} ortogonais a partir de \{w_1,w_2\}.
  2. Encontrar o vetor \mathbf{u} no subespaço W=\mathrm{span}\{w_1,w_2\} mais próximo de v=(2,3,4). Para isso projetamos v sobre W usando a base ortogonal obtida.

Passo 2

Aplicando Gram–Schmidt:
Definimos
u_1 = w_1 = (1,0,1),
e
u_2 = w_2 - \mathrm{proj}_{u_1}(w_2), \quad \mathrm{onde} \quad \mathrm{proj}_{u_1}(w_2) = \frac{\langle w_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1.
Calculamos
\langle w_2,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot1 = 1,
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+0^2+1^2 = 2.
Logo
\mathrm{proj}_{u_1}(w_2) = \frac{1}{2}(1,0,1) = \bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr),
e
u_2 = (0,1,1) - \bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr) = \bigl(-\tfrac12,\,1,\,\tfrac12\bigr).

Passo 3

Agora usamos \{u_1,u_2\} para projetar v em W:
\mathbf{u} = \mathrm{proj}_{u_1}(v) + \mathrm{proj}_{u_2}(v).
Primeiro,
\langle v,u_1\rangle = 2\cdot1+3\cdot0+4\cdot1 = 6,
\langle u_1,u_1\rangle = 2,
\mathrm{proj}_{u_1}(v) = \frac{6}{2}\,(1,0,1) = (3,0,3).
Em seguida,
\langle v,u_2\rangle = 2(-\tfrac12)+3\cdot1+4(\tfrac12)= -1+3+2=4,
\langle u_2,u_2\rangle = \tfrac14+1+\tfrac14 = \tfrac32,
\mathrm{proj}_{u_2}(v) = \frac{4}{3/2}\,u_2 = \tfrac{8}{3}\,\bigl(-\tfrac12,1,\tfrac12\bigr) = \bigl(-\tfrac{4}{3},\,\tfrac{8}{3},\,\tfrac{4}{3}\bigr).
Somando as projeções,
\mathbf{u} = (3,0,3) + \bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3},\tfrac{4}{3}\bigr) = \bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{8}{3},\,\tfrac{13}{3}\bigr).

Resposta

a) Uma base ortogonal de \mathbb{C} é
\{\,u_1,u_2\} = \{(1,0,1),\,(-\tfrac12,1,\tfrac12)\}.
b) O vetor de W mais próximo de v=(2,3,4) é
\mathbf{u} = \bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{8}{3},\,\tfrac{13}{3}\bigr).

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